[論文レビュー] On the optimal dividend problem for a spectrally positive Levy process

Chuancun Yin, Yuzhen Wen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2013

Probability and Risk Models参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、配当率が有界であるスペクトラル正の Lévy 迁移過程における最適配当戦略が、純資産が臨界水準 $b^*$ を超えると最大レートで配当が支払われるしきい値戦略であることを確立している。スケール関数とフラクチュエーション理論を用いて、割引配当支払いの期待値の明示的表現を導出し、一般条件下での最適性を証明しており、従来のデュアルモデルおよび拡散摂動モデルの結果をより広いクラスの Lévy 過程へと拡張している。

ABSTRACT

In this paper we study the optimal dividend problem for a company whose surplus process evolves as a spectrally positive Levy process. This model including the dual model of the classical risk model and the dual model with diffusion as special cases. We assume that dividends are paid to the shareholders according to admissible strategy whose dividend rate is bounded by a constant. The objective is to find a dividend policy so as to maximize the expected discounted value of dividends which are paid to the shareholders until the company is ruined. We show that the optimal dividend strategy is formed by a threshold strategy.

研究の動機と目的

• 純資産がスペクトラル正の Lévy 過程に従い、配当率が有界である会社の最適配当政策を特定すること。
• 従来のデュアルモデルおよび拡散摂動モデルに関する結果を、より広い Lévy 過程のクラスへ一般化すること。
• ジャンプ分布に依存しない一般の Lévy 済みの下で、しきい値戦略の最適性を確立すること。
• 最適戦略下での割引配当支払いの期待値の明示的表現を導出すること。

提案手法

• 配当最適化問題を、配当率に上限があり、破産吸収を伴う確率的制御問題として定式化する。
• スペクトラル正の Lévy 過程に関連するスケール関数 $W^{(q)}$ および $Z^{(q)}$ を用いて、価値関数を表現する。
• ラプラス指数 $\Psi(\theta)$ および右逆関数 $\Phi_1(q)$ を用いて、スケール関数の挙動を特徴付ける。
• 積分表現を用いて、$x > b^*$ および $0 < x < b^*$ のそれぞれについて、$W^{(q)}$ および $Z^{(q)}$ を含む価値関数 $V(x,b^*)$ を区分的形で導出する。
• 変分解析および境界条件を適用して、方程式 $V(b^*,b^*) = \frac{\alpha}{q} - \frac{1}{\Phi_1(q)}$ を用いて最適しきい値 $b^*$ を特定する。
• 価値関数の微分が $x > b^*$ で $V'(x,b^*) < 1$、$x < b^*$ で $V'(x,b^*) > 1$ であり、$b^*$ で連続であることから、最適性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 配当率が有界であるスペクトラル正の Lévy 過程において、配当問題の最適戦略がしきい値戦略であるか？
• RQ2 指数分布や拡散ケースを越えた一般の Lévy 過程において、最適しきい値レベル $b^*$ を明示的に特徴づけられるか？
• RQ3 Lévy 済みの構造にかかわらず、しきい値戦略の最適性は成立するか？
• RQ4 最適戦略下での割引配当支払いの期待値を閉形式でどのように表現できるか？
• RQ5 最適戦略が特定の破産を回避しながら配当支払いを最大化するための条件は何か？

主な発見

• 最適配当戦略は、純資産が $b^*$ を超えると最大レート $\alpha$ で配当が支払われ、それ以外はゼロとなるしきい値戦略である。
• 最適しきい値 $b^*$ は方程式 $V(b^*,b^*) = \frac{\alpha}{q} - \frac{1}{\Phi_1(q)}$ によって特定され、最適性の微分条件を満たす。
• $x > b^*$ に対して、価値関数は $V(x,b^*) = \frac{\alpha}{q} - \frac{1}{\Phi_1(q)} e^{-\Phi_1(q)(x-b^*)}$ であり、しきい値からの距離に応じて指数関数的に減少することが示される。
• $0 < x < b^*$ に対して、価値関数はスケール関数 $W^{(q)}$ および $Z^{(q)}$ 関数の積分を含み、しきい値以前のダイナミクスを反映する。
• 微分 $V'(x,b^*)$ は $x = b^*$ で連続であり、$V'(b^*,b^*) = 1$ であるため、しきい値で滑らかに貼り付く（smooth-pasting）挙動が確認される。
• 結果は、デュアルモデルおよびデュアルモデルに拡散を加えたものも含め、すべてのスペクトラル正の Lévy 過程に適用可能である。