[論文レビュー] On the Optimal Rates of Convergence for Quadratures Derived from Chebyshev Points

Shuhuang Xiang|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2013

Mathematical functions and polynomials参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、チェビシェフ展開における精密なアリヤス誤差推定を用いて、n点のクレーンシャウ・カーティス、フェージェールの第一および第二、ガウス＝レジェンドルの数値積分公式の最適収束速度を確立する。$ \min(\alpha,\beta) \geq -\frac{1}{2} $ の場合、収束次数は $ O(n^{-s-1}) $、$ -1 < \min(\alpha,\beta) < -\frac{1}{2} $ の場合、$ O(n^{-s-2-2\min(\alpha,\beta)}) $ であり、対数的重みが存在する場合には対数項が加わる。これらの収束速度は、$ X^s $ に属する関数に対して達成可能であることが示された。

ABSTRACT

In this paper, we study the optimal general convergence rates for quadratures derived from Chebyshev points. By building on the aliasing errors on integration of Chebyshev polynomials, together with the asymptotic formulae on the coefficients of Chebyshev expansions, new and optimal convergence rates for $n$-point Clenshaw-Curtis, Fejér's first and second quadrature rules are established for Jacobi weights or Jacobi weights multiplied by $\ln((x+1)/2)$. The convergence orders are attainable for some functions of finite regularities. In addition, by using refined estimates on aliasing errors on integration of Chebyshev polynomials by Gauss-Legendre quadrature, an improved convergence rate for Gauss-Legendre is given too.

研究の動機と目的

• 一般のジャコビ重みおよび対数的重みの下で、チェビシェフ点に由来する数値積分公式に対する最適収束速度の推定が不足しているという問題を解決する。
• 有限正則性を持つ関数 $ X^s $ に対して、クレーンシャウ・カーティス、フェージェールの第一および第二、ガウス＝レジェンドル積分公式の収束速度を最適化する。
• ガウス積分の下でチェビシェフ多項式を統合する際のアリヤス誤差を分析することで、既存の誤差境界を改善する。
• 滑らかさが限られた関数クラスに対して達成可能な収束次数を提供する。
• 特異重みの下でガウス法とクレーンシャウ・カーティス法の収束挙動の不一致を解消し、鋭い漸近的収束速度を導出する。

提案手法

• 関数 $ f \in X^s $ のチェビシェフ展開において、係数が $ O(j^{-s-1}) $ のように減衰することを用いて、数値積分誤差を表現する。
• 数値積分誤差を、高階のチェビシェフ係数と $ T_j(x) $ の積分誤差の積の和として表現し、既知の誤差表現を活用する。
• ガウス＝レジェンドル積分を用いた $ T_j(x) $ の統合におけるアリヤス誤差に対する精密な推定を適用し、$ E_n^G[T_j] $ の既存の境界を改善する。
• ジャコビ重みおよび対数的重みの下でのチェビシェフ展開係数の漸近的公式を導出し、減衰速度を分析する。
• ペアノ核定理と有界 variation の仮定を用いて一般誤差境界を導出し、その後 $ X^s $ 正則性を用いてそれを精緻化する。
• 収束速度を、$ \min(\alpha,\beta) $ や対数特異性に依存する関係を分析することで、異なる数値積分形式の間で比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $ f \in X^s $ に対して、ジャコビ重み $ w(x) = (1-x)^\alpha(1+x)^\beta $ の下で、n点のクレーンシャウ・カーティス、フェージェールの第一および第二、ガウス＝レジェンドル積分公式の最適一般収束速度は何か？
• RQ2 パラメータ $ \alpha $ および $ \beta $ に依存する収束速度は、特に $ \min(\alpha,\beta) < -\frac{1}{2} $ の場合、どのように変化するか？
• RQ3 重み因子 $ \ln((x+1)/2) $ が、これらの数値積分公式の収束速度に与える影響は何か？
• RQ4 有界 variation を持つ導関数を持つ関数に対して、ガウス＝レジェンドル積分の収束速度を標準的な $ O(n^{-k-1}) $ の境界を超えて改善できるか？
• RQ5 クレーンシャウ・カーティスおよびフェージェールの公式に対して導出された収束速度は、$ X^s $ に属する関数に対して最適かつ達成可能か？

主な発見

• ガウス＝レジェンドル積分の収束速度は、$ 0 < s < 1 $ では $ O(n^{-2s}) $、$ s = 1 $ では $ O(n^{-2} \ln n) $、$ s > 1 $ では $ O(n^{-s-1}) $ に改善され、$ f \in X^s $ の下で精密なアリヤス誤差推定を基にした。
• 重み $ w(x) = (1-x)^\alpha(1+x)^\beta $ の下で、クレーンシャウ・カーティスおよびフェージェールの公式の収束速度は、$ \min(\alpha,\beta) \geq -\frac{1}{2} $ の場合 $ O(n^{-s-1}) $、$ -1 < \min(\alpha,\beta) < -\frac{1}{2} $ の場合 $ O(n^{-s-2-2\min(\alpha,\beta)}) $ である。
• 重み $ w(x) = \ln((x+1)/2)(1-x)^\alpha(1+x)^\beta $ の下で、収束速度は $ \beta > -\frac{1}{2} $ の場合 $ O(n^{-s-1}) $、$ -1 < \beta \leq -\frac{1}{2} $ の場合 $ O(n^{-s-2-2\beta} \ln n) $ である。
• 導出された収束次数は、$ f(x) = |x - 0.5|^s $ を含む $ X^s $ に属する関数に対して達成可能であり、その鋭さが確認された。
• 数値的結果は、$ f \in X^s $ の下で、特異重みの下でクレーンシャウ・カーティスおよびフェージェールの公式がガウス積分より高いか、同等の収束速度を達成することを確認した。特に $ \min(\alpha,\beta) < -\frac{1}{2} $ の場合顕著である。
• 理論的改善にもかかわらず、数値的証拠は、$ f(x) = |x - 0.5|^s $ に対して、ジャコビ重みの下でガウス法とクレーンシャウ・カーティス法が類似した精度を示すことを示唆しており、収束速度の同等性に関する未解決の問題が存在する可能性を示唆している。