[論文レビュー] On the Optimality of Pseudo-polynomial Algorithms for Integer Programming

Fedor V. Fomin, Fahad Panolan+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Formal Methods in Verification被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、指数時間仮説（ETH）の下で整数プログラミング（IP）に対するタイトな条件付き下界を確立し、最近の擬似多項式時間アルゴリズム（特にJansenとRohwedderによるもの）がほぼ最適であることを示している。非負行列に対しても、定数個の制約をもつIPを解くことは、時間 $ n^{o(m / \log m)} \cdot \|b\|_\infty^{o(m)} $ では不可能であることが証明され、列マトロイドのパス幅が有界である場合、上界と下界が一致することを示しており、パrameterized IPにおける長年の複雑さの問題を解決した。

ABSTRACT

In the classic Integer Programming (IP) problem, the objective is to decide whether, for a given m x n matrix A and an m-vector b=(b_1,..., b_m), there is a non-negative integer n-vector x such that Ax=b. Solving (IP) is an important step in numerous algorithms and it is important to obtain an understanding of the precise complexity of this problem as a function of natural parameters of the input. The classic pseudo-polynomial time algorithm of Papadimitriou [J. ACM 1981] for instances of (IP) with a constant number of constraints was only recently improved upon by Eisenbrand and Weismantel [SODA 2018] and Jansen and Rohwedder [ArXiv 2018]. We continue this line of work and show that under the Exponential Time Hypothesis (ETH), the algorithm of Jansen and Rohwedder is nearly optimal. We also show that when the matrix A is assumed to be non-negative, a component of Papadimitriou's original algorithm is already nearly optimal under ETH. This motivates us to pick up the line of research initiated by Cunningham and Geelen [IPCO 2007] who studied the complexity of solving (IP) with non-negative matrices in which the number of constraints may be unbounded, but the branch-width of the column-matroid corresponding to the constraint matrix is a constant. We prove a lower bound on the complexity of solving (IP) for such instances and obtain optimal results with respect to a closely related parameter, path-width. Specifically, we prove matching upper and lower bounds for (IP) when the path-width of the corresponding column-matroid is a constant.

研究の動機と目的

• 指数時間仮説（ETH）の下で整数プログラミング（IP）の複雑さに対する条件付き下界を確立すること。
• 定数個の制約をもつIPに対する擬似多項式時間アルゴリズムの最適性を分析すること。
• 制約行列の列マトロイドのパス幅が定数で有界である場合のIPの複雑さを解明すること。
• CunninghamとGeelenによるブランチ幅とIPに関する先行研究をパス幅へと拡張し、タイトな境界を提供すること。

提案手法

• 指数時間仮説（ETH）および強指数時間仮説（SETH）を用いて、IPアルゴリズムの条件付き下界を導出する。
• 既知の難問（例：3-SUM）をIPインスタンスに還元することで、問題の同値性を用いて下界を確立する。
• Steinitzの補題と近接性の議論を適用し、解の大きさを制限し、アルゴリズム設計を導く。
• パス幅が有界なマトロイドのパス分解を計算する構成的アルゴリズムを導入する。
• 3-SUM′からの還元を用いて、IPの実行時間の改善が3-SUMの改善を意味することを示し、ETHに反する結果を導く。
• パス幅が定数である場合、パス分解における動的計画法を用いて、IPの上界と下界が一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ETHの下で、擬似多項式時間IPアルゴリズムの実行時間を著しく改善できるか？
• RQ2 JansenとRohwedderのアルゴリズムは、指数的要因を除いて最適であると見なせるか？
• RQ3 列マトロイドのパス幅が定数で有界である場合、IPの正確な複雑さは何か？
• RQ4 ETHの下で、IPアルゴリズムにおける $ \|b\|_\infty $ 依存度を $ \|b\|_\infty^{o(m)} $ 未満に低下させられるか？
• RQ5 ブランチ幅が有界であるIPとパス幅が有界であるIPの複雑さの間に、超多項式のギャップがあるか？

主な発見

• ETHの下では、$ m $ 個の制約をもつIPを、時間 $ n^{o(m / \log m)} \cdot \|b\|_\infty^{o(m)} $ で解くアルゴリズムは存在しない。非負行列に対しても同様である。
• JansenとRohwedderのアルゴリズムは、ETHに反する可能性がある任意の改善が存在しないため、ほぼ最適である。
• 非負行列の場合、Papadimitriouのアルゴリズムの解の大きさを制限する部分は、ETHの下で既にほぼ最適である。
• 列マトロイドのパス幅が定数で有界である場合、IPは上界と下界がともに $ (\|b\|_\infty + 1)^{O(\text{パス幅})} \cdot n^{O(1)} $ の形で一致する。
• この結果は、パス幅が有界なインスタンスに対するIPの実行時間をさらに改善するには、根本的に新しいアルゴリズム的手法が必要であることを示唆している。
• 本稿は、3-SUMにおける超多項式の改善が、IPアルゴリズムの改善を意味することを示しており、強い複雑さの障壁があることを示している。