[論文レビュー] On the order modulo p of an algebraic number (for p large enough)

Georges Gras|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ガロア拡大におけるフロベニウス自己同型を用いて、代数的数の素イデアルおよび有理素数を法とする乗法的位数の性質を調査する。大規模な素数 $ p $ に対して、$ g_p(n_p - 1) \to 2 $ を満たすすべての $ p \to \infty $ に対して、ボレル＝カンテリのヒューリスティックに基づき、$ o_p(\theta) > p $ が成り立つことを証明している。これは立方体および四次体に適用可能だが、二次体には適用されない。

ABSTRACT

Let K/Q be Galois, and let eta in K* whose conjugates are multiplicatively independent. For a prime p, unramified, prime to eta, let np be the residue degree of p and gp the number of P I p, then let o\_P(eta) and o\_p(eta) be the orders of eta modulo P and p, respectively.Using Frobenius automorphisms, we show that for all p extgreater{} extgreater{}0, some explicit divisors of p^(np)-1 cannot realize o\_P(eta) nor o\_p(eta), and we give a lower bound of o\_p(eta).Then we obtain that, for all p extgreater{} extgreater{}0 such that np extgreater{}1, Prob(o\_p(eta) extless{}p) $\le$ 1/p^(gp.(np-1)-epsilon)), where epsilon = O(1/(log\_2(p))); under the Borel--Cantelli heuristic, this leads to o\_p(eta) extgreater{}p for all p extgreater{} extgreater{}0 such that gp.(np-1) $\ge$ 2, which covers the "limit" cases of cubic fields with np=3 and quartic fields with np=gp=2, but not the case of quadratic fields with np=2. In the quadratic case, the natural conjecture is, on the contrary, that o\_p(eta) extless{} p for infinitely many inert p. Some computations are given with PARI programs.

研究の動機と目的

• ガロア拡大 $ K/\mathbb{Q} $ における有理素数 $ p $ を法とする代数的数 $ \eta $ の乗法的位数 $ o_p(\eta) $ の漸近的挙動を特定すること。
• フロベニウス自己同型を用いて、$ p^{n_p} - 1 $ の明示的な因子を同定し、それらが $ o_{\mathfrak{p}}(\eta) $ や $ o_p(\eta) $ を実現できないことを示すこと。
• 特に残差次数 $ n_p > 1 $ および分解群の構造を考慮した場合に、$ o_p(\eta) $ の非自明な下界を確立すること。
• 確率 $ \mathrm{Prob}(o_p(\eta) < p) $ を分析し、$ p \to \infty $ のときの崩壊速度 $ \leq 1/p^{g_p(n_p - 1) - \varepsilon} $（ただし $ \varepsilon = O(1/\log_2 p) $）を導出すること。
• 二次体における挙動（$ o_p(\eta) < p $ が無限に多く成り立つと予想される）と高次体における挙動（$ o_p(\eta) > p $ が期待される）の対比を明らかにすること。

提案手法

• ガロア拡大 $ K/\mathbb{Q} $ におけるフロベニウス自己同型を用いて、$ \eta \in K^\times $ が素イデアル $ \mathfrak{p} \mid p $ に作用する様子を分析し、分解群の巡回構造を活用する。
• チェボタレフの密度定理を適用して、素数 $ p $ をその残差次数 $ n_p $ で分類し、同じ $ n_p $ を持つ $ \mathfrak{p} \mid p $ 間で一様性を保証する。
• 円分多項式 $ \Phi_\delta(p) $ の構造を用いて、$ p^{n_p} - 1 $ の明示的な禁則因子を導出し、集合 $ D_{h,\delta}(p) = (p^h - 1)/\Phi_\delta(p) $ を得る。
• 確率論的整数論とボレル＝カンテリのヒューリスティックを用いて、$ o_p(\eta) < p $ を満たす素数 $ p $ の密度を推定し、$ \mathrm{Prob}(o_p(\eta) < p) \leq 1/p^{g_p(n_p - 1) - \varepsilon} $ の境界を得る。
• PARI/GP プログラムを用いて、$ \mathcal{D}_p $ の各因子 $ D $ について $ \phi(D) $ および $ \sum \phi(D) $ を計算し、密度と成長挙動の数値的検証を可能にする。
• 密度 $ \mathrm{Density} = \frac{1}{p^2 - 1} \sum_{D \in \mathcal{D}_p} \phi(D) $ と $ C = \mathrm{Density} \cdot p / \log p $ の増大を分析し、局所的最大値を検出するとともに、小位数実現の密度に対する上界を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガロア拡大 $ K/\mathbb{Q} $ における代数的数 $ \eta $ の位数 $ o_p(\eta) $ が大規模な素数 $ p $ に対して $ p $ を上回ることを保証する条件は何か？ また、$ n_p $ および $ g_p $ にどのような条件が必要か？
• RQ2 大規模な $ p $ に対して、$ p^{n_p} - 1 $ のどの因子が $ o_{\mathfrak{p}}(\eta) $ や $ o_p(\eta) $ を実現できないか？ そして、フロベニウス作用および円分多項式を用いて、それらを明示的に特徴づける方法は何か？
• RQ3 $ o_p(\eta) < p $ となる漸近的確率は何か？ また、$ p \to \infty $ のとき、特に $ g_p(n_p - 1) \geq 2 $ の場合にその確率はどのように崩壊するか？
• RQ4 なぜ二次体では $ o_p(\eta) < p $ が無限に多く成り立つと予想される一方で、高次体では $ o_p(\eta) > p $ が期待されるのか？
• RQ5 大規模な $ p $ に対して、$ C = \mathrm{Density} \cdot p / \log p $ の値はどのように振る舞うか？ また、これにより小位数実現の密度に対する上界をより精緻にできるか？

主な発見

• すべての十分に大きな素数 $ p $ に対して、$ n_p > 1 $ ならば、$ o_p(\eta) < p $ となる確率は $ 1/p^{g_p(n_p - 1) - \varepsilon} $ で上から抑えられ、$ \varepsilon = O(1/\log_2 p) $ であるため、急速な崩壊を示す。
• ボレル＝カンテリのヒューリスティックに基づき、$ g_p(n_p - 1) \geq 2 $ を満たすすべての大規模な $ p $ に対して $ o_p(\eta) > p $ が成り立つ。これは、$ n_p = 3 $ の立方体や $ n_p = g_p = 2 $ の四次体に含まれる。
• 二次体（$ n_p = 2 $）の場合はこの結論から除外され、自然な予想として、無限に多くの分解型素数 $ p $ に対して $ o_p(\eta) < p $ が成り立つとされている。
• 大規模な $ p $ に対して、$ \delta \mid h $ であるような $ D_{h,\delta}(p) = (p^h - 1)/\Phi_\delta(p) $ は、フロベニウス作用の制約により、$ o_{\mathfrak{p}}(\eta) $ や $ o_p(\eta) $ を実現できない。
• PARI/GP を用いた数値計算により、$ p^2 - 1 $ が高々合成的（friable）であるような $ p $ に対して、$ C = \mathrm{Density} \cdot p / \log p $ が顕著に増大することが示された。特に $ p = 1758415231 $ のとき $ C \approx 81.5 $ となった。
• 密度 $ \mathrm{Density} = \frac{1}{p^2 - 1} \sum_{D \in \mathcal{D}_p} \phi(D) $ は高い分散を示し、$ 10^{-59} $ から $ 10^{-35} $ の範囲をとる。また、$ \Delta = (p+1)\mathrm{Density} - 1/3 $ が大きく、一様分布からの逸脱を示している。