[論文レビュー] On the order of the Titchmarsh's sum in the theory of the Riemann zeta-function and on the biquadratic effect in the information theory

Jan Moser|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、解析的数論における古典的Titchmarsh和問題を解決する。非自明なゼータ関数の零点におけるHardy Z関数の二乗の積の和について、漸近的公式を導出する。高度な指数和技法と情報理論との関連を用いて、和が $ \frac{3}{4\pi^5} T \ln^5 T + \mathcal{O}(T \ln^4 T) $ と成長することを確立し、信号理論におけるbiquadratic効果を通じてZ関数とKotelnikoff-Whittaker-Nyquist標本化定理を結びつける。

ABSTRACT

We obtain in this paper the solution of the classical problem on the order of the Titchmarsh's sum (1934). Simultaneously, we obtain a connection of this problem and the Kotelnikoff-Whittaker-Nyquist's theorem from the information theory.

研究の動機と目的

• 非自明なゼータ関数の零点における $ \sum Z^2(t_\nu)Z^2(t_{\nu+1}) $ の順序を扱う長年の未解決問題を解くこと。
• ゼータ関数の零点の平均間隔に関連するシフトされた点における $ Z^2(t) $ の自己相関の正確な漸近的公式を確立すること。
• ゼータ関数の零点の分布および $ Z(t) $ の振る舞いを、情報理論におけるKotelnikoff-Whittaker-Nyquist標本化定理に結びつけること。
• 信号 $ Z(t) $ がそのスペクトル的性質と導出されたbiquadratic効果のおかげで、標本化定理の条件を満たすことを示すこと。

提案手法

• $ \rho_1(\nu) = \frac{2\pi}{\ln(t_\nu / 2\pi)} $ と定義される $ k\rho_1(\nu) $ 間隔における $ Z^2(t) $ の一般自己相関公式を導出する。
• $ \vartheta(t_\nu) = \pi\nu $ を満たす列 $ \{t_\nu\} $ を用い、非自明なゼータ関数の零点の虚部に対応させる。
• $ Z^2(t) $ の近似関数方程式を用いて、指数和および除数関数の分布に関する深い推定を適用する。
• 離散的ハリー＝リトルウッドの円周法の類似および位相変調された確率過程を活用し、実現のあらゆる場合に結果を検証する。
• 主な漸近的公式を導出するため、 $ \vartheta(\tilde{t}_\nu) = \frac{\pi}{2}\nu $ を満たす $ \tilde{t}_\nu $ に関する和に関する重要な補題を確立する。
• Z関数とリーマンゼータ関数との関係を用いて、数論的和と信号理論的標本化を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Titchmarsh和 $ \sum_{T \leq t_\nu \leq 2T} Z^2(t_\nu)Z^2(t_{\nu+1}) $ の正確な漸近的次数は何か？
• RQ2 ゼータ関数の零点の平均間隔に関連する間隔における $ Z^2(t) $ の自己相関は、漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ3 リーマンゼータ関数の零点分布が、biquadratic効果を通じてKotelnikoff-Whittaker-Nyquist標本化定理に結びつけられるか？
• RQ4 位相変調された確率過程 $ Z^2_\varphi(t) $ は、実現のあらゆる場合に漸近的公式を検証するために果たす役割は何か？

主な発見

• Titchmarsh和は $ \sum_{T \leq t_\nu \leq 2T} Z^2(t_\nu)Z^2(t_{\nu+1}) = \frac{3}{4\pi^5} T \ln^5 T + \mathcal{O}(T \ln^4 T) $ を満たし、古典的問題が解決された。
• $ k\rho_1(\nu) $ での $ Z^2(t) $ の自己相関の漸近的公式は、 $ k \neq l $ の場合、 $ \frac{3}{4\pi^5(k-l)^2} T \ln^5 T + \mathcal{O}(MT \ln^4 T) $ として導出された。
• $ k = l $ の場合、和は $ \frac{1}{4\pi^3} T \ln^5 T + \mathcal{O}((M+1)T \ln^4 T) $ となり、ゼロラグでの明確な異なる振る舞いが示された。
• 信号 $ Z(t) $ はそのバンド制限された性質と導出されたbiquadratic効果のおかげで、Kotelnikoff-Whittaker-Nyquist標本化定理の条件を満たす。
• ハリー＝リトルウッド効果のbiquadraticアナロジーが確立された： $ \frac{1}{N_2} \sum \left( \frac{1}{M} \sum Z^2(t_\nu + n\rho_1(\nu)) \right)^2 \sim \frac{1}{\pi} \frac{\ln^4 T}{M} $ 。
• 漸近的公式は、位相変調された確率過程 $ Z^2_\varphi(t) $ のすべての実現にわたって成り立ち、確率的摂動のあらゆる場合にわたる頑健性が確認された。