[論文レビュー] On the order of vertex-stabilisers in vertex-transitive graphs with local group $C_p imes C_p$ or $C_p \wr C_2$

Pablo Spiga, Gabriel Verret|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、局所作用が $C_p \times C_p$ または $C_p \mathop{\mathrm{wr}} C_2$ に同型である連結で辺推移的かつ頂点推移的なグラフについて、構造的二分法を確立する。その結果、グラフの位数は $p$ の関数で有界であるか、$2p|G_v|\log_p(|G_v|/\chi)$ 以上で増加するか、または既知の族 $\mathrm{PX}(p,r,s)$ に同型である。この結果は、弧推移的グラフにおける頂点安定化部分群のサイズに関する境界を一般化し、$p$-正則グラフに対する従来の指数的増加境界を改善する。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime and let $L$ be either the intransitive permutation group $C_p imes C_p$ of degree $2p$ or the transitive permutation group $C_p \wr C_2$ of degree $2p$. Let $Γ$ be a connected $G$-vertex-transitive and $G$-edge-transitive graph and let $v$ be a vertex of $Γ$. We show that if the permutation group induced by the vertex-stabiliser $G_v$ on the neighbourhood $Γ(v)$ is isomorphic to $L$ then either $|V(Γ)|\geq p|G_v|\log_p\left(|G_v|/2 ight)$, or $|V(Γ)|$ is bounded by a constant depending only on $p$, or $Γ$ is a very-well understood graph. This generalises a few recent results.

研究の動機と目的

• 局所作用が $C_p \times C_p$ または $C_p \mathop{\mathrm{wr}} C_2$ に同型であるような弧推移的グラフに関するトゥッテの定理を一般化すること。
• 頂点安定化部分群のサイズがグラフの位数に対して非線形に増加しない例外的な場合を分類すること。
• $p$-正則弧推移的グラフに対する従来の指数的増加境界を、安定化部分群の位数に基づくより鋭い明示的下界を提示することで改善すること。
• 成長境界を満たさないか、$\mathrm{PX}(p,r,s)$ 家族に同型でないすべての例外的な対 $(\Gamma, G)$ の構造的分類を提供すること。

提案手法

• 頂点安定化部分群のグラフ近傍への局所作用を分析するための置換群論の使用。
• 有限置換群に関する構造定理（最小正規部分群の分類およびその作用）の応用。
• グラフの位数に関する帰納法と、正則被覆および商グラフの分析を組み合わせ、基本ケースに還元すること。
• Sylow $p$-部分群の冪零クラスの明示的計算により、特定の自己同型群を除外すること。
• 既知の小規模な頂点推移的グラフのリストを用いた、例外的ケースの体系的探索による分類。
• $4$-正則弧推移的グラフに関する先行研究の結果を活用し、$p$-正則設定への枠組みの拡張。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所作用が $C_p \times C_p$ または $C_p \mathop{\mathrm{wr}} C_2$ に同型である頂点および辺推移的グラフにおいて、頂点安定化部分群のサイズがグラフの位数に対して非線形に増加する条件は何か？
• RQ2 成長境界を満たさないか、$\mathrm{PX}(p,r,s)$ に同型でないすべての例外的グラフは、明示的に分類可能か？
• RQ3 安定化部分群の位数に基づくグラフサイズの境界は、特に $p$-正則弧推移的グラフにおいて、従来の結果とどのように比較されるか？
• RQ4 $\mathrm{PX}(p,r,s)$ 家族の構造的性質は何か？また、分類においてその役割は何か？
• RQ5 安定化部分群のサイズが大きい場合、$|\mathrm{V}(\Gamma)|$ が $p$ に関して有界であるための正確な閾値は何か？

主な発見

• 任意の素数 $p$ に対して、$\Gamma$ が局所作用 $\mathcal{L}_{p,\chi}$ を持つ連結で $G$-辺推移的かつ $G$-頂点推移的グラフであるとき、$|\mathrm{V}(\Gamma)| \geq 2p \cdot \frac{|G_v|}{\chi} \log_p\left(\frac{|G_v|}{\chi}\right)$、または $|\mathrm{V}(\Gamma)|$ は $p$ のみに依存する定数で有界、または $\Gamma \cong \mathrm{PX}(p,r,s)$（$r \geq 3$、$1 \leq s \leq r-2$）である。
• 境界 $|\mathrm{V}(\Gamma)| \geq 2p \cdot \frac{|G_v|}{\chi} \log_p\left(\frac{|G_v|}{\chi}\right)$ は、$p$-正則弧推移的グラフに対する以前の指数的増加境界を改善する。
• $p=2$ の場合、成長境界を満たさないか $\mathrm{PX}(2,r,s)$ に同型でないすべての例外的対 $(\Gamma, G)$ の完全なリストは表5に明示的に記載されており、$|G_v| \leq 16$ または $|\mathrm{V}(\Gamma)| = 8100$ である。
• 例外ケース $|\mathrm{V}(\Gamma)| = 8100$ かつ $|G_v| = 256$ は、$4 \cdot 256 \cdot \log_2(256) = 8192 > 2 \cdot 8100$ であるため、成長境界を満たすことが確認され、境界が成立することが裏付けられる。
• $\mathrm{PX}(p,r,s)$ グラフは、局所作用条件を満たすが成長境界を満たさない唯一の無限族である。
• 証明により、すべてのこのようなグラフは、$\mathrm{PX}(p,r,s)$ 家族に属するか、成長境界を満たすか、または $c(p)$ に依存する関数で有界である。後者の場合、$p=2$ に対して完全に分類されている。