[論文レビュー] On the origin of inflation by using exotic smoothness

Torsten Aßelmeyer-Maluga, Jerzy Król|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2013

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 58被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、位相 $S^3 \times \mathbb{R}$ と特異な滑らかさ構造（特に $S^3 \times_\theta \mathbb{R}$）を持つ時空が、$S^3$ から双曲的ホモロジー3次元球面（例：$8_{10}$ ノード）への位相的変化を通じて加速膨張を誘導する幾何的インフレーションモデルを提案する。このモデルは自然に60以上のeフォールドのインフレーションを生じさせ、有限の期間を有し、唯一の位相的不変量をパラメータとして用いることで、再結合と量子揺らぎを幾何的に説明する。

ABSTRACT

In this paper we discuss a spacetime having the topology of S^3 x R but with a different smoothness structure leading to a geometric model for inflation, called geometric inflation. In particular this spacetime is not globally hyperbolic and we obtain a time line with a spatial topology change from the 3-sphere to a homology 3-sphere and back. The topology of the spacetime remains invariant. Among the infinite possible smoothness structures of this spacetime, we choose a homology 3-sphere constructed from the knot 8_{10} with hyperbolic geometry, i.e. admitting a homogenous metric of negative scalar curvature. We discuss the accelerated expansion for FLRW cosmology caused by the topology change. In contrast to other inflation models, this process stops after a finite time. Alternatively, the topology change can be also described by a SU(2)-valued scalar field. Then we calculate the expansion rate (having more than 60 e-folds) and the energy time scale. The coupling to matter is also interpreted geometrically and the reheating process (as well the supercooled expansion during inflation) is naturally obtained. The model depends only on a single parameter, a topological invariant of the homology 3-sphere, and assumes a Planck size universe of S^3-topology. The dependence of the model on the initial state and the a geometric interpretation of quantum fluctuations are also discussed.

研究の動機と目的

• スカラー場を任意に導入することなく、時空位相と特異な滑らかさを用いてインフレーションを第一原理から導出すること。
• インフレーションの起源を、$S^3$ から双曲的幾何を持つホモロジー3次元球面への位相的遷移として説明すること。
• 物質結合を事前に導入せず、特異な滑らかさに基づく幾何的枠組みで再結合と超冷却膨張を記述すること。
• モデルが唯一のパラメータ、すなわちホモロジー3次元球面の位相的不変量に依存することを示し、最小限の仮定を保証すること。
• チェーン＝シモンズ不変量と自己双対接続を用いて、量子揺らぎを幾何的に解釈すること。

提案手法

• ホモロジー3次元球面（例：$8_{10}$ ノードから得られるもの）を有し、双曲的幾何を持つ $\Sigma$ を用いて、$\Sigma \times [0,1]$ 上のプラス構成を用いて特異な $S^3 \times_\theta \mathbb{R}$ 時空を構築する。
• モース理論を用いて、位相的遷移 $S^3 \to \Sigma$ を、負の曲率寄与を持つカスンハンドルを含むハンドル分解として記述する。
• 特異な滑らかさ構造の幾何的効果としてインフレーション期をモデル化し、曲率と位相が共同で加速膨張を駆動することを示す。
• 位相的変化を $SU(2)$-値スカラー場として表現し、このプロセスをゲージ理論的構造とチェーン＝シモンズ不変量に結びつける。
• カスンハンドルからの曲率寄与を用いて膨張率を計算し、時空領域にわたる積分によりeフォールド数を導出する。
• チェーン＝シモンズ不変量 $\tau(\Sigma)$ を用いてインフレーションのエネルギースケールと時間スケールを計算し、これがモデルの唯一のパラメータとして機能することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー場を基本的場として導入せず、時空位相と特異な滑らかさからインフレーションが生じ得るか？
• RQ2 $S^3$ から双曲的ホモロジー3次元球面への位相的変化が、有限で幾何的に根拠を持つインフレーション期をどのように誘導するか？
• RQ3 チェーン＝シモンズ不変量 $\tau(\Sigma)$ がインフレーションの持続時間とエネルギースケールを決定する役割を果たすか？
• RQ4 再結合と量子揺らぎが、特異な滑らかさに基づく幾何的枠組み内で自然に説明可能か？
• RQ5 このモデルは初期条件にどの程度依存するか？ また、量子揺らぎの幾何的起源はどのように符号化されているか？

主な発見

• モデルは観測的要件を満たすスケール不変性を持つ摂動を生じさせる60以上のeフォールドのインフレーションを生成する。
• 位相的遷移の性質により、スカラー場モデルとは異なり、インフレーション期は有限時間で終了する。
• インフレーションのエネルギースケールはチェーン＝シモンズ不変量 $\tau(\Sigma)$ によって決定され、これがモデルの唯一のパラメータとして機能する。
• 再結合プロセスは位相的変化によって幾何的に誘導され、物質結合は時空幾何から自然に出現する。
• 量子揺らぎは、特異な滑らかさ構造の位相的不変量として解釈され、特に $\pi_1(\Sigma)$ の $SU(2)$ 表現に関連する。
• 初期の $S^3$ 位相が負のスカラー曲率を持つホモロジー3次元球面に進化する幾何的記述を実現し、これが加速膨張を駆動する。