[論文レビュー] On the Ornstein-Uhlenbeck operator in convex sets of Banach spaces

Gianluca Cappa|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2015

Numerical methods in inverse problems参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限次元可分バナッハ空間に値をとるガウス測度を備えた開凸部分集合上で、オーランシュタイン＝ウーレンバック作用素に関するポincareおよび対数的ソボレフ不等式を確立する。有限次元近似とデュシュェル＝ストルックの手法を用いて、作用素の固有値性質を証明し、マリャビン微積分やウィENERクラウス分解に依存せずに関数不等式を導出する。

ABSTRACT

We study the Ornstein-Uhlenbeck operator and the Ornstein-Uhlenbeck semigroup in an open convex subset of an infinite dimensional separable Banach space $X$. This is done by finite dimensional approximation. In particular we prove Logarithmic-Sobolev and Poincaré inequalities, and thanks to these inequalities we deduce the spectral properties of the Ornstein-Uhlenbeck operator.

研究の動機と目的

• 無限次元可分バナッハ空間 $X$ の開凸部分集合 $\Omega$ に対して、$L^2(\Omega, \gamma)$ 上のオーランシュタイン＝ウーレンバック作用素とその関連する半群を研究すること。
• 明示的な固有関数表現やウィエンルクラウス分解が存在しない状況において、このような領域における作用素に対するPoincaréおよび対数的ソボレフ不等式を確立すること。
• 関数不等式からオーランシュタイン＝ウーレンバック作用素の固有値性質を導出すること。
• マリャビン微積分への過度な依存を避けるために、解析的道具と有限次元近似を用いてこれらの不等式の簡略化された証明を提供すること。

提案手法

• 領域 $\Omega$ の円筒近似を用いて、無限次元オーランシュタイン＝ウーレンバック作用素を有限次元オーランシュタイン＝ウーレンバック作用素で近似する。
• 半群の性質からPoincaréおよび対数的ソボレフ不等式を導出するために、デュシュェル＝ストルックの手法を用いる。
• カミン＝マーチン空間の勾配 $\nabla_H$ に対する部分積分公式と、カミン＝マーチン空間 $H$ の性質を利用する。
• 半群 $T^\Omega(t)$ の部分マルコフ的および収縮的性質を確立する。具体的には、$[T^\Omega(t)(fg)]^2 \leq T^\Omega(t)(f^2)T^\Omega(t)(g^2)$ および $|\nabla_H T^\Omega(t)f|_H \leq e^{-t} T^\Omega(t)|\nabla_H f|_H$ を示す。
• ファトゥの補題と $\mathcal{F}C^1_b(\Omega)$ 内の円筒関数による近似を用いて、不等式を全ソボレフ空間 $W^{1,2}(\Omega, \gamma)$ に拡張する。
• フェルニケの定理を用いて $\|x\|_X$ の成長を制御し、部分線形関数による乗算が $L^2(\Omega, \gamma)$ 内の可積分性を保つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィエンルクラウス分解に依存せずに、無限次元バナッハ空間の凸部分集合上でオーランシュタイン＝ウーレンバック作用素に対するPoincaréおよび対数的ソボレフ不等式を確立できるか？
• RQ2 このような領域におけるオーランシュタイン＝ウーレンバック作用素の固有値性質は何か？ そして、関数不等式からそれらをどのように導出できるか？
• RQ3 有限次元近似を用いて、オーランシュタイン＝ウーレンバック作用素によって生成される半群が部分マルコフ的かつ収縮的であることを示せるか？
• RQ4 領域 $\Omega$ の有限次元近似が、無限次元におけるグローバル不等式の導出をどのように可能にするか？
• RQ5 カミン＝マーチン空間の勾配 $\nabla_H$ は、無限次元設定における不等式の正当性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• Poincaré不等式が成り立つ：すべての $f \in W^{1,2}(\Omega, \gamma)$ に対して $\int_\Omega \left|f - \int_\Omega f\,d\gamma\right|^2 d\gamma \leq \int_\Omega |\nabla_H f|_H^2 d\gamma$。
• 対数的ソボレフ不等式が成り立つ：すべての $f \in W^{1,2}(\Omega, \gamma)$ に対して $\int_\Omega f^2 \log(f^2)\,d\gamma \leq \int_\Omega |\nabla_H f|_H^2\,d\gamma + \|f\|_{L^2(\Omega,\gamma)}^2 \log(\|f\|_{L^2(\Omega,\gamma)}^2)$。
• 半群 $T^\Omega(t)$ は部分マルコフ的である：$\gamma$-ほとんど everywhere で $0 \leq f \leq 1$ ならば、すべての $t > 0$ に対して $0 \leq T^\Omega(t)f \leq 1$ $\gamma$-ほとんど everywhere である。
• 半群は点ごとの不等式 $|\nabla_H T^\Omega(t)f|_H \leq e^{-t} T^\Omega(t)|\nabla_H f|_H$ を満たす。すべての $f \in W^{1,2}(\Omega, \gamma)$ および $t \geq 0$ に対して成り立つ。
• 任意の可測関数 $v$ に対して $|v(x)| \leq k(\|x\|_X + 1)$ を満たすとき、関数 $\Lambda_v: f \mapsto fv$ は $W^{1,2}(\Omega, \gamma)$ 上で連続である。これは対数的ソボレフ不等式のおかげである。
• すべての $\varphi \in \mathcal{F}C^1_b(\Omega)$ で $\varphi \geq c^2$ を満たすものに対して、$\lim_{t \to \infty} T^\Omega(t)\varphi = m_\Omega(\varphi)$ が $L^2(\Omega, \gamma)$ 内で成り立ち、これはエントロピーの導関数の積分を用いて対数的ソボレフ不等式を導出するために用いられる。