[論文レビュー] On the osculatory behaviour of higher dimensional projective varieties

Edoardo Ballico, Claudio Fontanari|RACO (Revistes Catalanes amb Accés Obert) (Consorci de Serveis Universitaris de Catalunya)|Jun 16, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ベクトルバンドルの技法と主部分層の層を用いて、高次元射影的多様体の包絡的挙動を調査し、高次元の包絡的空間が極度に退化しているものについて分類し、超包絡的点の存在を保証する条件を確立する。主な貢献は、 canonical およびラインバンドルの除数における交線論を用いた基準であり、これは高々 m 次の超包絡的点の存在を保証するものである。

ABSTRACT

Here we explore the geometry of the osculating spaces to projective varieties of arbitrary dimension. In particular, we classify varieties having very degenerate higher order osculating spaces and we determine mild conditions for the existence of inflectionary points.

研究の動機と目的

• 古典的微分幾何学と Bompiani の手法を用いて、非常に退化した高次包絡的空間を持つ射影的多様体を分類すること。
• 任意次元の滑らかな射影的多様体上で、包絡的（超包絡的）点の存在を保証する緩い代数的幾何的条件を同定すること。
• 現代のベクトルバンドル理論と主部分層の層を応用して、高次包絡的欠損の存在を示す有効な基準を導出すること。
• 元来曲線および曲面に対して開発された古典的包絡的空間の結果を、高次元多様体へ一般化すること。
• 交線論を通じて、多様体の幾何と特定のラインバンドルの正性との間の関係を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、滑らかな射影的多様体 X 上のラインバンドル L における m 次の主部分層 $P^m(L)$ を用いて、m 次包絡的空間を分析する。
• Hopf の定理を適用して、m 次微分方程式の空間の次元の増大に関する下界を導出し、$h_{m+d}(p) \geq h_m(p) + \binom{n-1+d}{n-1} - 1$ が得られる。
• 主要な技術の一つとして、$0 \to \mathcal{O}_X^{\oplus x} \to P^m(L) \to R \to 0$ という完全系列の分析があり、ここで $x = \binom{n+m}{n} - 1$ であり、双対バンドル $R^*$ のコホロロジーを研究する。
• 錐定理と数値的正性を用いて、ある種の交線条件のもとで $R$ が nef であることを示し、$h^1(X, R^*)$ の消失を導く。
• 主要結果の証明は、余接バンドルの対称冪から $P^m(L)$ への写像の構成に依拠しており、部分バンドルの正則性を用いてそのランクを分析する。
• 著者たちは、曲線上の線型システムの幾何と Brill–Noether 理論を応用して、曲線上の $\mathbb{P}^{n-1}$-バンドルの場合を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $n$ の滑らかな射影的多様体 $X$ が一般点において高次元の $m$ 次包絡的空間を非常に退化している条件は何か？
• RQ2 どのような条件下で射影的多様体が $m$ 次の超包絡的点を有するか？
• RQ3 canonical バンドルの正性と高次包絡的欠損の存在との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 主部分層は、高次元における包絡的点を検出するためにどのように利用できるか？
• RQ5 曲線上の $\mathbb{P}^{n-1}$-バンドルの幾何は、包絡的空間の次元を上界で制御するために利用できるか？

主な発見

• 滑らかな射影的多様体 $X$ が次元 $n$ を持ち、一般点において $m$ 次の独立な微分方程式を少なくとも $N \geq (m-1)\left[\binom{n+m-1}{n-1} - n - 1\right] - \sum_{d=1}^{m-2}\binom{n-1+d}{n-1}$ 個持つならば、$X$ はより小さな射影空間に含まれるか、次元が少なくとも $n-k$ の部分多様体によって被覆される。
• ある $0 \leq y \leq n-2$ に対して $J^{n-y} \cdot H^y > 0$ が成り立つならば、高々 $m$ 次の超包絡的点の存在が保証される。ここで $J = \omega_X^{\otimes \binom{n+m}{n+1}} \otimes L^{\otimes \binom{n+m}{n}}$ であり、$H$ は大きなネフな除数である。
• 超包絡的点が存在しない場合、主部分層 $P^m(L)$ は $\mathcal{O}_X^{\oplus x} \oplus R$ に分解するが、$x = \binom{n+m}{n} - 1$ であり、部分バンドルの正則性を検討すると矛盾が生じる。
• 滑らかな曲線上の線形 $\mathbb{P}^{n-1}$-バンドルに対して、$\dim T(2,p,X) \geq n+1$ がすべての $p \in X$ に対して成り立つ。これは、接空間がファイバーに沿って定数であればガウス写像が非有限になるためである。
• すべての曲線 $D$ に対して $\omega_X \cdot D \geq -n-1$ を満たすとき、$R \cdot D \geq 0$ が成り立つならば、$R$ は nef である。これはコホロロジーの消失にとって重要である。
• 写像 $j: S^m(\Omega_X^1) \otimes L^{\otimes m}|C \to P^m(L)|C$ は、正則バンドル $F$ から自明バンドルへの非自明な写像を誘導するが、超包絡的点が存在しない場合、正則性に矛盾する。