[論文レビュー] On the Padovan sequence

Alain Faisant|arXiv (Cornell University)|May 19, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、初期値 $T_0=0$, $T_1=T_2=1$ で定義される再帰的関係 $T_{n+3} = T_{n+1} + T_n$ によるパドヴァン数列 $(T_n)$ を調べ、その整除性、素数を法とする周期、および立方多項式 $X^3 - X - 1$ を用いた代数的構造に注目する。主な結果として、素数 $p$ が $T_n$ の最初の因子として現れるインデックス $ ho_p$ が、$ ho_p \leq t_p \leq p^{r_p} - 1$ を満たすことが示されている。ここで $t_p$ は $p$ を法とする周期、$r_p$ は $bF_p$ 上での $X^3 - X - 1$ の分解体拡張の次数である。論文はさらに、類体論と関連づけ、$r_p = 1$ となる素数を $p = x^2 + 23y^2$ という条件によって特徴づけている。

ABSTRACT

The aim of this article is to give some properties of the so-called Padovan sequence $(T_n)_{n \ge 0}$ defined by $$ T_{n+3}=T_{n+1}+T_n \forall n \in \mathbb{N}, T_1=T_2=T_3=1$$ that is divisibility properties, periods, identities.

研究の動機と目的

• 素数を法とするパドヴァン数列の整除性および周期的挙動を理解すること。
• 素数 $p$ が $T_n$ の因子として最初に現れるインデックス $\omega_p$ を特徴づけること。
• 素数 $p$ を法とする $X^3 - X - 1$ の分解体の次数 $r_p$ と数列の周期 $t_p$ の関係を確立すること。
• 類体論を用いて $r_p = 1$ となる素数 $p$ を特徴づけ、$r_p = 1$ であることは $p = x^2 + 23y^2$ と同値であることを示すこと。
• 原始的因子、$T_n$ の素数性、および数列内での完全乗法的冪の有限性に関する未解決問題を探索すること。

提案手法

• 線形再帰列の理論および体上の線形再帰列の理論を用いてパドヴァン数列を分析する。
• 特性多項式 $T(X) = X^3 - X - 1$ の根を用いて、対称関数およびバテーユ行列を用いて $T_n$ の閉形式を表現する。
• $bF_p$ 上の整数論的演算を用いて、$p$ を法とする数列の周期 $t_p$ を研究し、$r_p$ を $bF_p$ 上の分解体拡張 $R_p / \bbF_p$ の次数とする。
• 類体論を用いて、$K = \bbQ(\sqrt{-23})$ の整数環における素数の分解挙動を分析し、$r_p = 1$ を $p = x^2 + 23y^2$ の表現と関連付ける。
• $\alpha^n, \beta^n, \gamma^n$ が 3次元の $K$-ベクトル空間 $\mathcal{T}_K$ に属することを根拠に、$T_n, T_{n-1}, T_{n-2}$ に関する対称的立方恒等式を導出する。
• アーティンの再帰性およびクンマー＝デデキンド理論を用いて、$cal{O}_K$ 内のイデアル分解と $T(X) \mod p$ の分解を関連づけ、$r_p = 1$ の特徴づけを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 もし $r_p = 1$ ならば、$T_n = aT_{n-1}T_n + bT_{n-1}^2 + cT_{n-2}^2$ の係数 $a, b, c$ が $b = c = 2a$ を満たすとは言えるか？
• RQ2 もし $r_p = 2$ ならば、係数が $b = c = (p+1)a$ を満たすとは言えるか？
• RQ3 もし $r_p = 3$ ならば、係数が $a = b = c = 1 + p + p^2$ を満たすとは言えるか？
• RQ4 $T_n$ における $p$ の最初の出現インデックス $ ho_p$ の正確な算術的性質は何か？
• RQ5 $T_n$ に原始的素因数をもたないような $n$ は有限個であるか？

主な発見

• $p$ を法とするパドヴァン数列の周期 $t_p$ は、$t_p \leq p^{r_p} - 1$ を満たす。ここで $r_p$ は $bF_p$ 上での $X^3 - X - 1$ の分解体の次数である。
• 明示的な上限が確立された：$\omega_p \leq t_p \leq p^{r_p} - 1$。ここで $\omega_p$ は $p$ が $T_n$ の因子として最初に現れるインデックスである。
• 類体論およびアーティンの再帰性を用いて、$r_p = 1$ であることは、$p = x^2 + 23y^2$（$x, y$ は整数）と同値であることが示された。
• 数列には正確に3つの平方数が含まれる：$T_{10} = 9 = 3^2$、$T_{12} = 16 = 4^2$、$T_{16} = 49 = 7^2$。それぞれの平方根は $T_6, T_7, T_9$ に等しい。
• 対称的立方恒等式が導出された：$T_n^3 + T_{n-1}^3 + T_{n-2}^3 - T_n T_{n-1}^2 - T_n^2 T_{n-2} + T_{n-1}^2 T_{n-2} + 2T_{n-1} T_{n-2}^2 - 3T_n T_{n-1} T_{n-2} = 1$。
• $n \leq 20$ の範囲で $T_n$ を割る素数には $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ が含まれ、原始的因子のパターンは複雑であり、$n = 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 21, 23, 32, 33, 45$ に著しい例外が存在する。