[論文レビュー] On The Pairwise Weakly Lindelof Bitopological Spaces

Adem Kılıçman, Zabidin Salleh|ArXiv.org|Jan 28, 2009

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、二重位相空間におけるペアワイズ弱リンドレルーフ性の概念を導入し、弱リンドレルーフ性を二つの位相を持つ空間へと拡張する。この性質が遺伝的でないことを、順序位相と離散位相を備えた順序空間 Ω による反例を用いて示し、正則開被覆と閉包を用いて相対的弱リンドレルーフ部分集合を特徴づける。

ABSTRACT

In this paper we introduce and study the notion of pairwise weakly Lindelof bitopological spaces and obtain some results. Further, we also study the pairwise weakly Lindelof subspaces and subsets, investigate some of their properties and show that a pairwise weakly Lindelof property is not a hereditary property.

研究の動機と目的

• ペアワイズ弱リンドレルーフ空間を定義することで、弱リンドレルーフ性の概念を二重位相設定へと拡張すること。
• ペアワイズ弱リンドレルーフ部分空間および部分集合の性質を、周囲の空間に対して調査すること。
• ペアワイズ弱リンドレルーフ性が遺伝的であるかどうかを特定すること、特に部分空間および部分集合との関係において。
• 二重位相空間における ij-弱リンドレルーフ性、ij-ほぼリンドレルーフ性、および ij-ほぼ正則性の関係を明確にすること。

提案手法

• ij-弱リンドレルーフ性を用いてペアワイズ弱リンドレルーフ空間を定義し、任意の ij-正則開被覆に対して、その j-閉包が空間を被覆する可算部分族が存在することを要件とする。
• 正則開集合を特徴づけ、弱リンドレルーフ性の役割を分析するために、ij-半正則化位相 τ_ij^s を用いる。
• 部分集合 A に対する相対的弱リンドレルーフ部分集合の概念を適用し、A が ij-正則開集合の被覆によって被覆されるとき、可算部分族の j-閉包が A を被覆することを要件とする。
• 順序位相 τ₁ と離散位相 τ₂ を備えた順序空間 Ω = [1, ω₁] を用いた反例を構成し、性質が遺伝的でないことを示す。
• ij-半正則空間において、i-開な遺伝的 ij-弱リンドレルーフ性は、すべての τ_ij^s-集合が ij-弱リンドレルーフであることと同値であることを証明する。
• 両方の位相 τ₁ および τ₂ に対する閉包および内部作用素を用いて、相対的および絶対的弱リンドレルーフ条件を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペアワイズ弱リンドレルーフ性は遺伝的か。特に、ペアワイズ弱リンドレルーフ空間の任意の部分空間もペアワイズ弱リンドレルーフか。
• RQ2 部分集合 A ⊆ X が X に対して ij-弱リンドレルーフである条件は何か。これは絶対的 ij-弱リンドレルーフ性とはどのように異なるか。
• RQ3 ij-弱リンドレルーフ空間と ij-ほぼリンドレルーフ空間、または ij-ほぼ正則空間との関係は何か。
• RQ4 部分集合が部分空間位相において ij-弱リンドレルーフでないにもかかわらず、X に対して ij-弱リンドレルーフであることは可能か。
• RQ5 ij-弱リンドレルーフ性は、閉包や正則性条件（例えば ij-正則閉集合や i-クロップン集合）によって保存されるか。

主な発見

• ペアワイズ弱リンドレルーフ性は、順序位相と離散位相を備えた空間 Ω = [1, ω₁] を用いた反例により、遺伝的でないことが示された。
• 部分集合 Ω₀ = Ω ∖ {ω₁} は 1-開であるが 12-弱リンドレルーフでないため、12-弱リンドレルーフ空間が弱リンドレルーフでない部分空間を含み得ることを示している。
• ペアワイズ弱リンドレルーフ空間のクロージャー部分集合はペアワイズ弱リンドレルーフである。これはコロナリー15で確立されている。
• ij-半正則空間において、空間が i-開な遺伝的 ij-弱リンドレルーフであるための必要十分条件は、すべての τ_ij^s-集合が ij-弱リンドレルーフであることである。
• 相対的 ij-弱リンドレルーフ性は、部分集合 A が ij-正則開集合の被覆によって被覆されるとき、可算部分族の j-閉包が A を被覆するという条件によって特徴づけられる。
• 本稿では、ij-弱リンドレルーフ空間の i-閉集合や ij-正則開集合が ij-弱リンドレルーフでないことがあることが示されており、ij-正則閉集合かつ j-開であるような追加条件が必要であることが示唆されている。