[論文レビュー] On the Parallel Parameterized Complexity of MaxSAT Variants

Max Bannach, Malte Skambath+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Formal Methods in Verification被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、pk-almost-2sat および構造的グラフパラメータでパラメータ化された部分MaxSATなど、主要なMaxSAT変種における、最初の並列固定パrameter tractable（para-NC）アルゴリズムを提示する。流れの計算と木分解上の動的計画法を活用することで、反復圧縮といった本質的に逐次的な手法に依存するため、並列化が困難だと考えられていた問題に対しても、定数深さのAC回路実装を達成した。

ABSTRACT

In the maximum satisfiability problem (MAX-SAT) we are given a propositional formula in conjunctive normal form and have to find an assignment that satisfies as many clauses as possible. We study the parallel parameterized complexity of various versions of MAX-SAT and provide the first constant-time algorithms parameterized either by the solution size or by the allowed excess relative to some guarantee ("above guarantee" versions). For the dual parameterized version where the parameter is the number of clauses we are allowed to leave unsatisfied, we present the first parallel algorithm for MAX-2SAT (known as ALMOST-2SAT). The difficulty in solving ALMOST-2SAT in parallel comes from the fact that the iterative compression method, originally developed to prove that the problem is fixed-parameter tractable at all, is inherently sequential. We observe that a graph flow whose value is a parameter can be computed in parallel and use this fact to develop a parallel algorithm for the vertex cover problem parameterized above the size of a given matching. Finally, we study the parallel complexity of MAX-SAT parameterized by the vertex cover number, the treedepth, the feedback vertex set number, and the treewidth of the input's incidence graph. While MAX-SAT is fixed-parameter tractable for all of these parameters, we show that they allow different degrees of possible parallelization. For all four we develop dedicated parallel algorithms that are constructive, meaning that they output an optimal assignment - in contrast to results that can be obtained by parallel meta-theorems, which often only solve the decision version.

研究の動機と目的

• MaxSAT変種における固定パrameter tractabilityと並列パラメータ化複雑性の間のギャップを埋める。
• 反復圧縮に依存するが、これまで並列化が困難だとされてきたpk-almost-2satに対する最初の並列アルゴリズムを開発する。
• treewidth、頂点被覆番号、フィードバック頂点集合番号といった構造的パラメータへと並列fptツールキットを拡張する。
• 最適割り当てを出力する明示的かつ構成的並列アルゴリズムを構築する（可能性の判定のみではない）。
• 一部のMaxSAT問題が、逐次的アルゴリズム的依存性があるにもかかわらず、定数深さの並列計算を許容することを示す。

提案手法

• 特殊なHochbaumネットワークにおける0-1フローを計算する並列アルゴリズムを開発し、その構造を活用して最大フローを独立した部分フローに分解する。
• 頂点被覆を半整数マッチング上での上界にパラメータ化する問題を、フロー問題に新たな還元することで、fpt個のプロセッサを用いた並列計算を可能にする。
• 構成状態を用いた状態表現を採用した木分解上の動的計画法を適用し、部分MaxSATを解く。
• 木分解に基づくアルゴリズムを設計し、木のノード間で割り当て、スコア、節の充足状態を含む構成集合を維持する。
• すべての操作（導入、忘れ、結合）を、深さf(k)のTC回路および深さf(k)·log nのAC回路で実装し、サイズはf(k)·n^O(1)とする。
• Hochbaumネットワークにおける最大フロー計算が、小さな独立したフローサブ問題に分解可能であることに着目し、並列化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復圧縮法が本質的に逐次的であるにもかかわらず、pk-almost-2satはpara-NCで解けるか？
• RQ2 半整数マッチング上での頂点被覆問題は、流れに基づく手法を用いて並列で解けるか？
• RQ3 treewidth や頂点被覆番号といった構造的パラメータは、部分MaxSATに対して定数深さの並列アルゴリズムを可能にするか？
• RQ4 第一または第二階層論理に基づく既存のアルゴリズム的メタ定理は、並列パラメータ化設定下でのMaxSAT変種に適用可能か？
• RQ5 最適割り当てを出力する明示的かつ構成的para-NCアルゴリズムを、可能性の判定のみではなく、MaxSATに対して構築可能か？

主な発見

• 本稿は、pk-almost-2sat に対して最初のpara-NCアルゴリズムを提示し、並列パラメータ化複雑性分野における長年の未解決問題を解決した。
• 新規の流れに基づくアプローチにより、頂点被覆をマッチング上に上回る問題の最大フロー計算を並列で実行可能となった。
• treewidth k でパラメータ化された部分MaxSATに対して、深さf(k)·log n、サイズf(k)·n^O(1)のAC回路を構築した。これにより、固定kに対して定数深さの並列処理が達成された。
• 木分解に基づく部分MaxSATのアルゴリズムは、割り当て、スコア、節の充足状態を含む構成集合を維持し、TC回路を用いて処理する。
• アルゴリズム的メタ定理の制限を回避する成功事例であり、無限大のtreewidthと2CNF充足可能性の第一階層論理で定義不能な点が原因で、従来の定理は失敗する。
• 結果として、treewidth や頂点被覆番号といった構造的パラメータが、MaxSATにおける並列化の度合いを高める可能性を示した。