[論文レビュー] On the Parameterized Complexity of Contraction to Generalization of Trees

Akanksha Agrawal, Saket Saurabh+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、各グラフが高々 ℓ 条の辺を削除することで木にできるようなグラフの族 Tℓ に対する、グラフの縮約のパラメータ化一般化である Tℓ-縮約を導入する。O((2√ℓ + 2)^{O(k+ℓ)} · n^O(1)) 時間で動作する FPT アルゴリズムを提示し、k をパラメータとした場合に多項式カーネルが存在しないことを示し、任意の α > 1 に対してサイズ O([k(k + 2ℓ)]^{⌈α/(α−1)⌉+1}) のロスありカーネルを構築する。

ABSTRACT

For a family of graphs F, the F-Contraction problem takes as an input a graph G and an integer k, and the goal is to decide if there exists S \subseteq E(G) of size at most k such that G/S belongs to F. Here, G/S is the graph obtained from G by contracting all the edges in S. Heggernes et al.[Algorithmica (2014)] were the first to study edge contraction problems in the realm of Parameterized Complexity. They studied \cal F-Contraction when F is a simple family of graphs such as trees and paths. In this paper, we study the F-Contraction problem, where F generalizes the family of trees. In particular, we define this generalization in a "parameterized way". Let T_\ell be the family of graphs such that each graph in T_\ell can be made into a tree by deleting at most \ell edges. Thus, the problem we study is T_\ell-Contraction. We design an FPT algorithm for T_\ell-Contraction running in time O(( col)^{O(k + \ell)} * n^{O(1)}). Furthermore, we show that the problem does not admit a polynomial kernel when parameterized by k. Inspired by the negative result for the kernelization, we design a lossy kernel for T_\ell-Contraction of size O([k(k + 2\ell)] ^{(\lceil {\frac{\alpha}{\alpha-1} ceil + 1)}}).

研究の動機と目的

• 高々 ℓ 条の辺を削除することで木にできるグラフの族 Tℓ におけるグラフの縮約のパラメータ化された複雑性を調べること。
• T-Contraction (ℓ=0) が多項式カーネルを持たないことが知られているのと同様に、Tℓ-縮約が k をパラメータとした場合に多項式カーネルを持つかどうかという未解決の問題に取り組むこと。
• カーネル化に失敗した場合の代替手段として、ロスありカーネルを設計すること。
• T-Contraction (ℓ=0) の FPT アルゴリズムを ℓ を用いたパラメータ化拡張により、より広いグラフクラスに一般化すること。

提案手法

• Tℓ を、高々 ℓ 条の辺を削除することで木にできるグラフの族として定義し、標準的な木の族を一般化する。
• Heggernes ら [17] の T-縮約用 FPT アルゴリズムフレームワークを、辺の縮約に基づく分岐戦略を用いて Tℓ-縮約に適応する。
• グラフを簡略化するための3つの還元規則（6.1～6.3）を設計する：連結頂点被覆の削除、高次元頂点の近傍に基づく削除、近傍サイズの上限制約。
• 還元規則を適用した後、残りのグラフのサイズが O([k(k + 2ℓ)]^{d+1})（d = ⌈α/(α−1)⌉）で有界であることを証明し、厳密な PSAKS（多項式サイズの近似カーネル化スキーム）を構築する。
• ワitness構造と縮約不変量を用いて、還元の過程で解の同等性を維持し、ロスありカーネルが近似解の品質を保つことを保証する。
• 標準的な複雑性仮定のもとで、Tℓ-縮約は多項式カーネルを持たないことが示され、これによりロスありカーネル化の導入が動機づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 T-縮約問題は、木よりも広いグラフ族に一般化可能であり、その場合でも固定パラメータ可 tractable なままであるか？
• RQ2 任意の固定された ℓ ≥ 0 に対して、Tℓ-縮約は k をパラメータとした場合に多項式カーネルを持つか？
• RQ3 そうでない場合、k と ℓ に関して多項式サイズに縮小されつつ良好な近似を得られるロスありカーネルを構築可能か？
• RQ4 Tℓ に属するグラフのどの構造的性質が、効率的な FPT アルゴリズムおよびカーネル化スキームの設計に利用可能か？

主な発見

• Tℓ-縮約のための FPT アルゴリズムを設計し、実行時間は O((2√ℓ + 2)^{O(k+ℓ)} · n^O(1)) であり、標準的な T-縮約の FPT 結果を一般化する。
• 任意の固定された ℓ ∈ ℕ に対して、k をパラメータとした場合に多項式カーネルが存在しないことが、既知のカーネル化下界への還元により証明された。
• 任意の α > 1 に対して、サイズ O([k(k + 2ℓ)]^{⌈α/(α−1)⌉+1}) のロスありカーネルが構築され、これは厳密な PSAKS（多項式サイズの近似カーネル化スキーム）を形成する。
• 3つの還元規則を適用した後のインスタンスサイズは、O([k(k + 2ℓ)]^{d+1})（d = ⌈α/(α−1)⌉）で有界であり、カーネルが小さく効率的であることを保証する。
• 還元規則は、近似解の再構築が可能になるように解の品質を保ち、ロスありカーネルは最適解のサイズを因子 α 以内に保つことを保証する。
• 証明はワitness構造と縮約不変量に依拠しており、元のグラフにおける任意の解が、サイズの損失が制限された範囲内で縮約グラフにおける解に写像可能であることを示している。