[論文レビュー] On the parameterized complexity of the Maker-Breaker domination game

Guillaume Bagan, Mathieu Hilaire+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2026

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ひとこと要約

論文は Maker-Breaker 支配ゲームのパラメータ化複雑性を分析し、移動ベースのパラメータ化に対するいくつかの難性結果（W[1]-およびW[2]-硬さ）を証明し、隣接多様性、モジュラー幅、P4-少数性、クラスタまでの距離、フィードバックエッジ数といった構造的グラフパラメータに対して複数の FPT アルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

Since its introduction as a Maker-Breaker positional game by Duchêne et al. in 2020, the Maker-Breaker domination game has become one of the most studied positional games on vertices. In this game, two players, Dominator and Staller, alternately claim an unclaimed vertex of a given graph G. If at some point the set of vertices claimed by Dominator is a dominating set, she wins; otherwise, i.e. if Staller manages to isolate a vertex by claiming all its closed neighborhood, Staller wins. Given a graph G and a first player, Dominator or Staller must have a winning strategy. We are interested in the computational complexity of determining which player has such a strategy. This problem is known to be PSPACE-complete on bipartite graphs of bounded degree and split graphs; polynomial on cographs, outerplanar graphs, and block graphs; and in NP for interval graphs. In this paper, we consider the parameterized complexity of this game. We start by considering as a parameter the number of moves of both players. We prove that for the general framework of Maker-Breaker positional games in hypergraphs, determining whether Breaker can claim a transversal of the hypergraph in k moves is W[2]-complete, in contrast to the problem of determining whether Maker can claim all the vertices of a hyperedge in k moves, which is known to be W[1]-complete since 2017. These two hardness results are then applied to the Maker-Breaker domination game, proving that it is W[2]-complete to decide if Dominator can dominate the graph in k moves and W[1]-complete to decide if Staller can isolate a vertex in k moves. Next, we provide FPT algorithms for the Maker-Breaker domination game parameterized by the neighborhood diversity, the modular width, the P4-fewness, the distance to cluster, and the feedback edge number.

研究の動機と目的

• PSPACE 完全性を超えるパラメータ化問題として MB Domination の研究動機づけ。
• 各プレイヤーの移動回数を上限したときに問題の複雑さがどう変化するかを決定。
• MB Dom Game に対して、どの構造的グラフパラメータが固定パラメータ可換行列（FPT）アルゴリズムを生み出すかを探る。

提案手法

• MB Dom Game を hypergraph 上の Maker-Breaker 作動型ゲームとしてモデル化し、既存の結果を移送する。
• Bonnet らの論理フラグメントを拡張し、k 回で Breaker-win が W[2]-硬であることを示す。
• Staller-win を k 回で W[1]-硬、Dominator-win を k 回で W[2]-硬であることを証明。
• モジュールに対するカーネル化と縮約補題を開発し、構造的パラメータ下で FPT アルゴリズムを可能にする。
• 隣接多様性、モジュラー幅、P4-fewness、クラスタまでの距離、フィードバックエッジ数でパラメータ化した FPT アルゴリズムを設計・分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Staller の勝利を狙う移動回数でパラメータ化したとき、MB Dom Game のパラメータ化複雑性はどうなるか。
• RQ2 Dominator の勝利を狙う移動回数でパラメータ化したとき、パラメータ化複雑性はどうなるか。
• RQ3 隣接多様性、モジュラー幅、P4-fewness、クラスタまでの距離、フィードバックエッジ数といった構造的グラフパラメータの下で MB Dom Game は FPT に解けるか。
• RQ4 Maker-Breaker ゲームにおける k 回の Breaker-win は W[2]-完全集合か。これが MB Dom Game の結果とどう関係するか。
• RQ5 グラフのモジュラ構造とツイン構造は、結果の保持的削減とカーネラリゼーションをどう影響するか。

主な発見

• MB Dom Game は Staller の勝利回数でパラメータ化したとき W[1]-完全集合である。
• MB Dom Game は Dominator の勝利回数でパラメータ化したとき W[2]-完全集合である。
• Maker-Breaker ゲームにおける k 回の Breaker-win は W[2]-完全集合であり、Maker 対象の変種で観察される硬さより強い形式である。
• 隣接多様性、モジュラー幅、P4-fewness、クラスタまでの距離、およびフィードバックエッジ集合のサイズでパラメータ化した MB Dom Game に対して FPT アルゴリズムが存在する。
• 著者は、上記パラメータに対してカーネラリゼーションと FPT 結果を裏付ける構造的縮約（例：モジュール置換）を提供している。