[論文レビュー] On the Parameterized Intractability of Determinant Maximization

Naoto Ohsaka|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Advanced Graph Theory Research参考文献 42被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複数のパrameterized制約下における行列式最大化のW[1]-hardnessを確立し、疎なアローヘッド行列、低ランク入力、および$2^{-c\sqrt{k}}$要因以内の近似解に対しても、問題が依然として解けないことを証明している。さらに、行列式のランクと対角成分の上限をパrameterとするε加法的FPT近似アルゴリズムを提示し、標準的なパrameterized計算複雑性仮定のもとで、この問題は本質的に効率的に解けないか、近似できないことを示している。

ABSTRACT

In the Determinant Maximization problem, given an $n imes n$ positive semi-definite matrix $\bf{A}$ in $\mathbb{Q}^{n imes n}$ and an integer $k$, we are required to find a $k imes k$ principal submatrix of $\bf{A}$ having the maximum determinant. This problem is known to be NP-hard and further proven to be W[1]-hard with respect to $k$ by Koutis. However, there is still room to explore its parameterized complexity in the restricted case, in the hope of overcoming the general-case parameterized intractability. In this study, we rule out the fixed-parameter tractability of Determinant Maximization even if an input matrix is extremely sparse or low rank, or an approximate solution is acceptable. We first prove that Determinant Maximization is NP-hard and W[1]-hard even if an input matrix is an arrowhead matrix; i.e., the underlying graph formed by nonzero entries is a star, implying that the structural sparsity is not helpful. By contrast, Determinant Maximization is known to be solvable in polynomial time on tridiagonal matrices. Thereafter, we demonstrate the W[1]-hardness with respect to the rank $r$ of an input matrix. Our result is stronger than Koutis' result in the sense that any $k imes k$ principal submatrix is singular whenever $k>r$. We finally give evidence that it is W[1]-hard to approximate Determinant Maximization parameterized by $k$ within a factor of $2^{-c\sqrt{k}}$ for some universal constant $c>0$. Our hardness result is conditional on the Parameterized Inapproximability Hypothesis posed by Lokshtanov, Ramanujan, Saurab, and Zehavi, which asserts that a gap version of Binary Constraint Satisfaction Problem is W[1]-hard. To complement this result, we develop an $\varepsilon$-additive approximation algorithm that runs in $\varepsilon^{-r^2}\cdot r^{O(r^3)}\cdot n^{O(1)}$ time for the rank $r$ of an input matrix, provided that the diagonal entries are bounded.

研究の動機と目的

• スパarsityや低ランクなどの構造的制約下における行列式最大化のパrameterized複雑性を調査すること。
• 近似解が許容可能であっても、問題が依然として困難であるかどうかを特定すること。
• 行列式最大化に対する固定パrameter tractable (FPT) 近似アルゴリズムの存在を調査すること。
• このNP困難問題に対する効率的なパrameterizedアルゴリズムの限界を包括的に理解すること。
• 三重対角行列やアローヘッド形式のような構造的行列における行列式最大化の tractability に関する未解決の問いを解消すること。

提案手法

• k-和問題への帰着により、星構造的（スターベース）に疎なアローヘッド行列上でのW[1]-hardnessを証明する。
• グリッドタイリングに基づく帰着を用いて、行列式のランクrに関してW[1]-hardnessを確立し、k > rであっても難易度が保たれることを示す。
• パrameterized不近似可能性仮説（PIH）を適用し、任意の普遍的定数c > 0に対して、FPTアルゴリズムが$2^{-c\sqrt{k}}$-近似を達成できないことを証明する。
• 入力ベクトルの離散化版を、誤差境界∆を用いた有理近似により構築し、精度が有界であることを保証する。
• 離散化空間内の異なるベクトルタイプを列挙することで、ε加法的FPT近似アルゴリズムを構築し、異なるベクトルの数の上限を活用する。
• 行列ノルムおよび行列式の摂動バウンド（Lemma 3.8を用いて）を用いて、近似精度がε以内に保証されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列式最大化は、入力行列がアローヘッド行列（すなわち、構造的に疎な行列）である場合でさえW[1]-hardであるか？
• RQ2 行列式のランクrをパrameterとする場合、k > rであってもFPT時間で解けるか？
• RQ3 パrameterized不近似可能性仮説のもとで、定数倍のFPT近似が可能か？
• RQ4 行列式のランクと対角成分が有界である場合、ε加法的FPT近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ5 行列式最大化において、FPT時間で達成可能な最もタイトな近似要因は何か？

主な発見

• 行列式最大化は、入力行列がアローヘッド行列である場合でさえW[1]-hardであることが示され、構造的スパarsityが tractability をもたらさないことを証明している。
• 行列式のランクrに関して、k > rのときすべてのk×k主小行列が特異的であっても、問題はW[1]-hardのままである。
• パrameterized不近似可能性仮説のもとで、任意の普遍的定数c > 0に対して、FPTアルゴリズムが$2^{-c\sqrt{k}}$-近似を達成できないことが証明された。
• 対角成分が有界であれば、$\varepsilon^{-r^2} \cdot r^{O(r^3)} \cdot n^{O(1)}$ 時間で実行可能なε加法的FPT近似アルゴリズムが存在する。
• 近似保証は、行列式の摂動バウンドにより証明され、$|\det(AS) - \det(BS)| \leq 3 \cdot d^{2d+1} \cdot \Delta$ が成り立ち、ここで$\Delta = \varepsilon / (6 \cdot d^{2d+1})$ である。
• 離散化された入力における異なるベクトルの数は、$\left(\frac{2}{\Delta} + 1\right)^d$ で有界であり、FPT時間内での効率的列挙が可能である。