[論文レビュー] On the partition function of the Riemann zeta function, and the Fyodorov--Hiary--Keating conjecture

Adam J. Harper|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2019

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ひとこと要約

本稿は、リーマンゼータ関数の臨界線における最大値について、Fyodorov–Hiary–Keating予想が予測する一次および二次の項を厳密に一致させる初めての上限を確立している。ゼータ関数を滑らかでない数と滑らかな数の上でのディリクレ多項式の積として近似し、確率論的技法をランダム行列理論から応用することで、ほとんどの $ t \in [T, 2T] $ に対して、局所的最大値が $ \max_{|h|\leq 1/2} \log|\zeta(1/2+it+ih)| \leq \log\log T - (3/4+o(1))\log\log\log T $ を満たすことを証明した。これは、予想される極値的挙動を確認するものである。

ABSTRACT

We investigate the ``partition function'' integrals $\int_{-1/2}^{1/2} |ζ(1/2 + it + ih)|^2 dh$ for the critical exponent 2, and the local maxima $\max_{|h| \leq 1/2} |ζ(1/2 + it + ih)|$, as $T \leq t \leq 2T$ varies. In particular, we prove that for $(1+o(1))T$ values of $T \leq t \leq 2T$ we have $\max_{|h| \leq 1/2} \log|ζ(1/2+it+ih)| \leq \log\log T - (3/4 + o(1))\log\log\log T$, matching for the first time with both the leading and second order terms predicted by a conjecture of Fyodorov, Hiary and Keating. The proofs work by approximating the zeta function in mean square by the product of a Dirichlet polynomial over smooth numbers and one over rough numbers. They then apply ideas and results from corresponding random model problems to compute averages of this product, under size restrictions on the smooth part that hold for most $T \leq t \leq 2T$ (but reduce the size of the averages). There are connections with the study of critical multiplicative chaos. Unlike in some previous work, our arguments never shift away from the critical line by more than a tiny amount $1/\log T$, and they don't require explicit calculations of Fourier transforms of Dirichlet polynomials.

研究の動機と目的

• 臨界線上におけるリーマンゼータ関数の局所的最大値に対する厳密な上限を、予想される漸近的挙動と一致させる。
• ゼータ関数の最大値におけるFyodorov–Hiary–Keating予想の二次項 $ -(3/4+o(1))\log\log\log T $ を、$ |\zeta(1/2+it+ih)| $ の短区間での平均について解明する。
• 臨界線から大きなずれを生じさせず、ディリクレ多項式のフーリエ変換を明示的に計算する必要を回避する手法を開発する。
• 分割関数 $ \int_{-1/2}^{1/2} |\zeta(1/2+it+ih)|^2 dh $ 及びそのモーメントを分析し、ゼータ関数の局所的挙動の分布的性質を推論する。
• 数論的ゼータ関数の挙動と臨界的乗法的カオス、ランダム行列モデルとを滑らかでない部分と滑らかな部分への分解を通じて結びつける。

提案手法

• $ \zeta(1/2+it+ih) $ を、$ P $-滑らかな数上のディリクレ多項式と $ P $-滑らかでない数上のディリクレ多項式の積として近似する。ここで $ P $ は $ T $ に依存して選ばれる。
• 周波数帯域を $ l $ でインデックス化した滑らかなデイディック分解を用い、$ |I_{l,t}(\tilde{h}(l))| $ の大きさに関する条件によって、局所的要因の積を制御する。
• 集合 $ \tilde{\mathcal{G}}_t(h) $ の指示関数の代わりに滑らかな主要化関数を導入し、期待値枠組みでモーメント推定を適用可能にする。
• 特に、モーメントのモーメントおよび乗法的カオスの研究を含む、ランダム行列理論からの確率論的技法を用い、ディリクレ多項式の積を有界化する。
• パラメータ $ \delta = 1/(\log\log P)^2 $ を用いて誤差項を制御し、主項に比べて誤差寄与が無視可能であることを保証する。
• 滑らかな部分の切り捨て指数級数による近似が有効であることを保証するため、$ \epsilon > 20\log P \log\log P / \log T $ の条件を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 典型的な $ t \in [T, 2T] $ に対して、$ \max_{|h|\leq 1/2} \log|\zeta(1/2+it+ih)| $ の正確な漸近的挙動は何か？ そして、Fyodorov–Hiary–Keating予想と一致するか？
• RQ2 ゼータ関数の最大値における二次項 $ -(3/4+o(1))\log\log\log T $ が厳密に確立可能か？
• RQ3 平均的に $ t \in [T, 2T] $ に対して、分割関数 $ \int_{-1/2}^{1/2} |\zeta(1/2+it+ih)|^2 dh $ のモーメントはどのように振る舞うか？ これは、短区間におけるゼータ関数の典型的な大きさについて何を示唆するか？
• RQ4 ゼータ関数が滑らかでない部分と滑らかな部分に効果的に分解可能であり、その積がゼータ関数の最大値付近での正しい統計的挙動を捉えられるか？
• RQ5 ランダム行列モデルのヒューリスティクスが、リーマンゼータ関数の局所的最大値の文脈でどの程度厳密に示せるか？

主な発見

• $ (1+o(1))T $ 個の $ t \in [T, 2T] $ に対して、局所的最大値は $ \max_{|h|\leq 1/2} \log|\zeta(1/2+it+ih)| \leq \log\log T - (3/4+o(1))\log\log\log T $ を満たす。これは、Fyodorov–Hiary–Keating予想の一次および二次の項と完全に一致する。
• 分割関数 $ \int_{-1/2}^{1/2} |\zeta(1/2+it+ih)|^2 dh $ は通常 $ \ll \frac{1}{\sqrt{\log\log T}} \log T $ であり、古典的な第二モーメント推定値よりも小さい。これは、平均が典型的な値を代表していないことを示唆する。
• 定理1の上限は $ \left( \frac{\log T}{1 + (1-q)\sqrt{\log\log T}} \right)^q $ の形を取り、これが最適であり、ゼータ関数の統計力学的類似における凍結転移を反映している。
• 近似における誤差項は $ \delta = 1/(\log\log P)^2 $ を選ぶことで制御され、滑らかな近似誤差の寄与は $ \ll \frac{\log T}{(\log\log P)^2} $ であり、無視可能である。
• この手法は臨界線からの大きなずれを避け、$ O(1/\log T) $ の範囲内に留まり、ディリクレ多項式のフーリエ変換の明示的計算を必要としない。
• 証明は、ゼータ関数を滑らかでない部分と滑らかな部分に分解し、滑らかな部分を切り捨て指数級数で近似し、滑らかでない部分はモーメント推定で取り扱うことに依存している。