[論文レビュー] On the passage from atomistic systems to nonlinear elasticity theory

Julian Braun, Bernd Schmidt|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2011

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ひとこと要約

本稿は、一般の有限範囲相互作用（結合角および多極子効果を含む）を有する原子系から、$Γ$-収束を用いて非線形弾性汎関数を厳密に導出する。連続体エネルギー密度は細胞問題の解として得られ、極限エネルギーが小変形においてのみクーロン＝ボーン則と整合し、一般にクーロン関係式を超える一般化を実現する。

ABSTRACT

We derive continuum limits of atomistic models in the realm of nonlinear elasticity theory rigorously as the interatomic distances tend to zero. In particular we obtain an integral functional acting on the deformation gradient in the continuum theory which depends on the underlying atomistic interaction potentials and the lattice geometry. The interaction potentials to which our theory applies are general finite range models on multilattices which in particular can also account for multi-pole interactions and bond-angle dependent contributions. Furthermore, we discuss the applicability of the Cauchy-Born rule. Our class of limiting energy densities consists of general quasiconvex functions and the class of linearized limiting energies consistent with the Cauchy-Born rule consists of general quadratic forms not restricted by the Cauchy relations.

研究の動機と目的

• 一般の有限範囲相互作用（多粒子および結合角依存ポテンシャルを含む）を有する原子系から、連続体非線形弾性汎関数を厳密に導出すること。
• 極限エネルギー密度を細胞問題の解として確立し、格子細胞上での完全な離散勾配を捉えること。
• 非線形領域におけるクーロン＝ボーン則の有効性と限界を分析し、小歪みにおいてのみ成立することを示すこと。
• 極限エネルギー密度が準凸であること、およびクーロン関係式の制約を受けないこと、特に複雑な相互作用に対しても示すこと。
• ペア相互作用に限った先行結果を、スティルリングァー＝ウーバー型ポテンシャルを含むより豊かな相互作用モデルへ拡張すること。

提案手法

• 小格子間隔極限（$\varepsilon \to 0$）における離散的原子系エネルギーから連続極限への$Γ$-収束の使用。
• 格子細胞上での離散的変形勾配 $\bar{\nabla}y(x)$ を含む細胞問題に基づく極限エネルギーを積分汎関数としての形で定式化。
• 局所化法および抽象的コンパクト性性質を用いて、アリカンドラおよびチカレーゼ（2004）の積分表現枠組みの仮定を検証。
• 各細胞上での $d \times 2^d$ 離散勾配を完全に記述するように設計された補間の構築。これにより、ペア相互作用モデルで用いられるスライシング技法に代わる。
• 可測多価関数論を用いて、細胞エネルギーを最小化する可測場 $s(x)$ の存在を保証し、連続体エネルギーの表現を可能にする。
• 相互作用ポテンシャルの成長および連続性条件の使用により、細胞問題における下半連続性および最小化子の存在を保証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限範囲かつ多粒子相互作用（結合角依存を含む）を有する原子モデルから、一般の非線形弾性汎関数を導出可能か？
• RQ2 非線形領域においてクーロン＝ボーン則が成立する条件は何か。また、何時失敗するか？
• RQ3 一般の原子系相互作用に対する極限連続体エネルギー密度の構造は何か。また、準凸性とどのように関係するか？
• RQ4 $Γ$-収束および細胞問題を用いて、非ペア相互作用の離散的から連続的極限を厳密に確立できるか？
• RQ5 極限エネルギー密度は、スティルリングァー＝ウーバー型ポテンシャルのような複雑なポテンシャルにおいて、クーロン関係式が破られる材料を捉えることができるか？

主な発見

• 極限連続体エネルギー密度は、格子細胞上での離散勾配を含む細胞問題の解として得られる、変形勾配の準凸関数である。
• 理論は、多極子および結合角依存寄与を含む、多格子上での一般の有限範囲相互作用に適用可能であり、スティルリングァー＝ウーバー型ポテンシャルを含む。
• クーロン＝ボーン則は小歪み極限でのみ回復される。非線形領域では、極限エネルギーは一般にクーロン＝ボーンエネルギーと等しくならない。
• クーロン＝ボーン則と整合する線形化極限エネルギーのクラスは、クーロン関係式の制約を受けない一般の二次形式から成り、物理的に現実的な異方的応答を許容する。
• 極限エネルギー汎関数は、補助場 $s$ における最小化を介して、細胞エネルギー密度の積分として表現される。
• 可測多価関数論により、可測最小化場 $s(x)$ の存在が保証され、$L^q$ における連続体エネルギーの表現が可能となる。