[論文レビュー] On the pathwidth of almost semicomplete digraphs

Kenta Kitsunai, Yasuaki Kobayashi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、各頂点が高々 $ h $ 個の非隣接頂点を持つという性質を持つ $ h $-半完全有向グラフ（semicomplete digraphs の一般化）のパス幅を、パラメータ $ k $ に対して固定パラメータ可 tractable な時間 $ (h+2k+1)^{2k}n^{O(1)} $ で計算するアルゴリズムを提示する。さらに、パス幅が $ f(k,h) $ 以上であるような任意の $ h $-半完全有向グラフは、パス幅が $ k $ 以上の半完全有向部分グラフを含むことを証明しており、この性質により、固定された $ h $ に対して、このクラスにおけるトップロジカル包含問題に多項式時間アルゴリズムを適用可能にする。

ABSTRACT

We call a digraph {\em $h$-semicomplete} if each vertex of the digraph has at most $h$ non-neighbors, where a non-neighbor of a vertex $v$ is a vertex $u eq v$ such that there is no edge between $u$ and $v$ in either direction. This notion generalizes that of semicomplete digraphs which are $0$-semicomplete and tournaments which are semicomplete and have no anti-parallel pairs of edges. Our results in this paper are as follows. (1) We give an algorithm which, given an $h$-semicomplete digraph $G$ on $n$ vertices and a positive integer $k$, in $(h + 2k + 1)^{2k} n^{O(1)}$ time either constructs a path-decomposition of $G$ of width at most $k$ or concludes correctly that the pathwidth of $G$ is larger than $k$. (2) We show that there is a function $f(k, h)$ such that every $h$-semicomplete digraph of pathwidth at least $f(k, h)$ has a semicomplete subgraph of pathwidth at least $k$. One consequence of these results is that the problem of deciding if a fixed digraph $H$ is topologically contained in a given $h$-semicomplete digraph $G$ admits a polynomial-time algorithm for fixed $h$.

研究の動機と目的

• 半完全有向グラフから $ h $-半完全有向グラフ（各頂点が高々 $ h $ 個の非隣接頂点を持つ）へのパス幅の固定パラメータ可 tractable アルゴリズムの拡張。
• 全体のパス幅が大きい場合に、高パス幅の半完全有向部分グラフが存在することを保証する $ h $-半完全有向グラフの構造的性質の確立。
• 固定された $ h $ に対して、$ h $-半完全有向グラフにおけるトップロジカル包含および素性パス問題に多項式時間アルゴリズムを適用可能にする。これは、従来半完全有向グラフにのみ知られていた結果の一般化である。
• グラフ・ミニョルズ型の結果の有向グラフ版の理論的基盤を提供し、その適用範囲を半完全有向グラフにとどまらず拡張すること。

提案手法

• 各頂点の非隣接頂点数が有界であるという性質を活用した、反復的バッグ構築と頂点順序付けに基づく動的計画法アルゴリズムの設計。
• パラメータ $ k $（パス幅の目標値）を用いたパラメータ化アプローチを採用し、有界な探索空間内で $ h+2k+1 $ 個の頂点集合のすべての組み合わせを探索することでパス分解を構築する。
• 各頂点の非隣接頂点数に対する組合せ的制約を用いて、パス分解構築時の探索すべき状態の数を制限する。
• マーティングルールに基づく確率的議論を用いて、部分グラフ内のランダム独立集合の期待サイズを分析し、部分グラフの密度とパス幅に関する構造的補題を裏付ける。
• extremal 組合せ論と構造的分解を用いて、任意の $ h $-半完全有向グラフがパス幅 $ \geq f(k,h) $ ならば、パス幅 $ \geq k $ の半完全有向部分グラフを含むような関数 $ f(k,h) $ を確立する。
• アルゴリズム的および構造的結果を統合し、固定された有向グラフ $ H $ が $ h $-半完全有向グラフ $ G $ にトップロジカルに含まれるかどうかを、固定された $ h $ に対して多項式時間で判定できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ $ k $（パス幅）に関して、$ h $-半完全有向グラフのパス幅を固定パラメータ可 tractable 時間で計算できるか？
• RQ2 高パス幅を示す $ h $-半完全有向グラフにおいて、高パス幅の半完全有向部分グラフが存在することを保証する構造的性質は何か？
• RQ3 $ h $-半完全有向グラフクラスは、トップロジカル包含や素性パス問題に対して多項式時間アルゴリズムを有するか。これは、従来半完全有向グラフにのみ知られていた結果の一般化であるか？
• RQ4 各頂点が高々 $ h $ 個の非隣接頂点を持つという制限（非隣接性の有界性）は、パス幅および関連問題のアルゴリズム的扱いやすさにどのように影響するか？
• RQ5 本稿で提示されたパス幅計算アルゴリズムは、非隣接性が有界または類似する構造的制約を持つ他の有向グラフクラスへも拡張可能か？

主な発見

• 任意の $ h $-半完全有向グラフ $ G $（$ n $ 頂点）に対して、パス幅が $ k $ 以下であるパス分解を $ (h+2k+1)^{2k}n^{O(1)} $ 時間で計算するアルゴリズムを開発した。あるいは、$ \text{pw}(G) > k $ であることを正しく特定する。
• このアルゴリズムは、Pilipczuk の半完全有向グラフに対する $ k^{O(k)}n^2 $ の結果を、より広いクラスの $ h $-半完全有向グラフへ一般化している。
• 任意の $ h $-半完全有向グラフがパス幅 $ \geq f(k,h) $ ならば、パス幅 $ \geq k $ の半完全有向部分グラフを含むような関数 $ f(k,h) $ が存在する。
• その結果、固定された有向グラフ $ H $ が $ h $-半完全有向グラフ $ G $ にトップロジカルに含まれるかどうかを、固定された $ h $ に対して多項式時間で判定可能である。
• 構造的結果により、$ h $-半完全有向グラフの高パス幅は、密度の高い半完全有向部分グラフの存在を強制するため、アルゴリズム的還元が可能になる。
• 本稿では、$ h $-半完全有向グラフにおけるパス幅と部分グラフ包含の関係を確立し、従来半完全有向グラフにのみ知られていた結果をより広いクラスの有向グラフへ拡張した。