[論文レビュー] On the pathwise uniqueness of solutions of one-dimensional stochastic differential equations with jumps

Mohsine Benabdallah, Siham Bouhadou+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、跳躍付き1次元確率微分方程式（SDE）におけるパスワイズ一意性のための、新しい局所時間に基づく条件（LT）を確立した。これは、拡散過程からの古典的結果を跳躍拡散SDEへと拡張するものである。局所時間と伊藤の公式を活用することで、近似を用いず、パスワイズ一意性および比較定理を証明した。この枠組みは、対称安定Lévy駆動SDEおよび係数の正則性仮定を最小限に抑えた非負のスペクトル的Lévy過程への応用に適用された。

ABSTRACT

We consider one-dimensional stochastic differential equations with jumps in the general case. We introduce new technics based on local time and we prove new results on pathwise uniqueness and comparison theorems. Our approach are very easy to handled and don't need any approximation approach. Similar equations without jumps were studied in the same context by \cite{Le Gall}, \cite{Ouknine} and others authors. As an application we get a new condition on the pathwise uniqueness for the solutions to stochastic differential equations driven by a symmetric stable Lévy processes.

研究の動機と目的

• 拡散過程におけるパスワイズ一意性のための（LT）条件を、跳躍拡散SDEへと拡張すること。
• 跳躍付きSDEのための、新しい局所時間に基づく条件（LT）を確立し、近似を用いずパスワイズ一意性を保証すること。
• BassおよびBenabdallahらの比較定理を、跳躍付きSDEへと一般化すること。
• より弱い条件のもとで、非負のスペクトル的安定Lévy過程によって駆動されるSDEのパスワイズ一意性を証明すること。
• 近似技術を複雑に回避する、統一的かつ取り扱いやすい局所時間に基づく枠組みを提供すること。

提案手法

• 跳躍拡散SDEのための、局所時間に基づく新しい（LT）条件を導入し、拡散過程における古典的（LT）条件を一般化する。
• 2つの解の差にタンカの公式を適用し、正の部分を局所時間とジャンプ寄与に分解する。
• （LT）条件を用いて、分解における局所時間項とジャンプ項を排除し、解の比較を簡略化する。
• 局所時間付きの伊藤の公式を適用し、解の差の正の部分の期待値に対する微分不等式を導出する。
• ドリフト項およびジャンプ係数が単調性条件を満たすように保証することで、パスの交差を防ぎ、比較定理を確立する。
• ジャンプカーネルおよび拡散係数における（LT）条件の検証により、安定および非負のスペクトル的Lévy過程への応用を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡散係数およびジャンプ係数にどのような条件を課すと、1次元SDEに跳躍が含まれる場合のパスワイズ一意性が成立するか？
• RQ2 拡散過程における（LT）条件を、局所時間技術を用いて跳躍付きSDEへと拡張可能か？
• RQ3 近似手法に依存せずに、跳躍付きSDEのための比較定理をどのように確立できるか？
• RQ4 対称安定Lévy過程によって駆動されるSDEのパスワイズ一意性を保証する条件は何か？
• RQ5 非減少ジャンプ係数を有する非負のスペクトル的Lévy駆動SDEに対して、（LT）条件を検証可能か？

主な発見

• 本稿は、近似技術を要しない跳躍付きSDEのための新しい（LT）条件を導入し、パスワイズ一意性を保証する。
• （LT）条件は、対称安定Lévy過程によって駆動されるSDEに対し検証され、このクラスへのパスワイズ一意性の結果が拡張された。
• ドリフトおよびジャンプ係数にやや弱い単調性条件を課すことにより、跳躍付きSDEの比較定理が確立された。
• 非負のスペクトル的Lévy駆動SDEでは、拡散係数が非減少であり、ジャンプ関数が単調性条件を満たす場合、パスワイズ一意性が成立する。
• 局所時間に基づく手法により、解の差におけるジャンプ項および局所時間項が効果的に排除され、直接的な比較が可能となった。
• 既存の結果（BassおよびPeng–Zhuの結果など）を、係数の正則性仮定を少なくすることで一般化した。