[論文レビュー] On the pedant tree-connectivity of graphs

Yaping Mao|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2015

Interconnection Networks and Systems参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、頂点集合Sを含むすべての頂点が葉であるようなスティーナー木を要件とする、一般化グラフ連結性の特殊形であるpedant tree-connectivityを導入し、その分析を行う。k-pedant tree-connectivityの鋭い上限・下限を確立し、極値（0, n−k, n−k−1, n−k−2）を達成するグラフを同定し、グラフとその補グラフにおけるpedant tree-connectivityの和および積に関するNordhaus-Guddum型不等式を導出し、鋭い上限と構造的特徴付けを証明する。

ABSTRACT

The concept of pedant tree-connectivity was introduced by Hager in 1985. For a graph $G=(V,E)$ and a set $S\subseteq V(G)$ of at least two vertices, \emph{an $S$-Steiner tree} or \emph{a Steiner tree connecting $S$} (or simply, \emph{an $S$-tree}) is a such subgraph $T=(V',E')$ of $G$ that is a tree with $S\subseteq V'$. For an $S$-Steiner tree, if the degree of each vertex in $S$ is equal to one, then this tree is called a \emph{pedant $S$-Steiner tree}. Two pedant $S$-Steiner trees $T$ and $T'$ are said to be \emph{internally disjoint} if $E(T)\cap E(T')=\varnothing$ and $V(T)\cap V(T')=S$. For $S\subseteq V(G)$ and $|S|\geq 2$, the \emph{local pedant-tree connectivity} $τ_G(S)$ is the maximum number of internally disjoint pedant $S$-Steiner trees in $G$. For an integer $k$ with $2\leq k\leq n$, \emph{$k$-pedant tree-connectivity} is defined as $τ_k(G)=\min\{τ_G(S)\,|\,S\subseteq V(G),|S|=k\}$. In this paper, we first study the sharp bounds of pedant tree-connectivity. Next, we obtain the exact value of a threshold graph, and give an upper bound of the pedant-tree $k$-connectivity of a complete multipartite graph. For a connected graph $G$, we show that $0\leq τ_k(G)\leq n-k$, and graphs with $τ_k(G)=n-k,n-k-1,n-k-2,0$ are characterized in this paper. In the end, we obtain the Nordhaus-Guddum type results for pedant tree-connectivity.

研究の動機と目的

• グラフにおけるpedant tree-connectivityの鋭い上限・下限を研究すること。
• スレッショルドグラフにおけるk-pedant tree-connectivityの正確な値を特定すること。
• 完全多部グラフにおけるk-pedant tree-connectivityの上界を確立すること。
• k-pedant tree-connectivityの極値τk(G) = 0, n−k, n−k−1, n−k−2を達成するグラフを特徴付けること。
• グラフとその補グラフにおけるpedant tree-connectivityの和および積に関するNordhaus-Guddum型結果を導出すること。

提案手法

• S-treesのうち、Sに属するすべての頂点の次数が1であるものをpedant S-Steiner木と定義する。
• Sの頂点がすべて葉であるような内部素性をもつpedant S-Steiner木の最大数をτG(S)として、局所的pedant木連結性を定義する。
• V(G)のk部分集合Sに対するτG(S)の最小値をk-pedant tree-connectivity τk(G)と定義する。
• 極値グラフ理論および構造的解析を用いて、τk(G)の上限・下限を導出し、特にτk(G) ≤ n−kおよびτk(G) ≥ 0を示す。
• 補グラフの構造を応用し、τk(G) + τk(G̅)およびτk(G) · τk(G̅)に関するNordhaus-Guddum型不等式を導出する。
• 次数条件および連結性の性質を用いて、上限に等号が成立するグラフを特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n階のグラフにおいて、k-pedant tree-connectivityの鋭い上限および下限は何か？
• RQ2 スレッショルドグラフにおけるk-pedant tree-connectivityの正確な値は何か？
• RQ3 完全多部グラフにおけるk-pedant tree-connectivityの上界は何か？
• RQ4 どのグラフがτk(G) = 0, n−k, n−k−1, またはn−k−2を満たすか？
• RQ5 τk(G)とτk(G̅)の和および積に関するNordhaus-Guddum型の上限は何か？また、いつ鋭い境界が達成されるか？

主な発見

• 任意のn階の連結グラフGに対して、0 ≤ τk(G) ≤ n−kが成り立ち、すべての境界が鋭い。
• τk(G) = n−kを満たすグラフは存在し、それは次数n−1の頂点と、そのすべての隣接頂点がSに属するようなk部分集合Sをもつグラフとして特徴付けられる。
• τk(G) = n−k−1を満たすグラフは存在し、特定の次数分布と連結性構造によって特徴付けられる。
• τk(G) = n−k−2を満たすグラフは、次数と連結性の制約の組み合わせによって特徴付けられる。
• すべてのn階の連結グラフG（3 ≤ k ≤ n）に対して、Nordhaus-Guddum型不等式τk(G) + τk(G̅) ≤ n−kが成り立ち、この境界は鋭い。
• 積に関する不等式τk(G) · τk(G̅) ≤ ⌊(n−k)/2⌋²についても鋭く、特定の極値ケースで等号が成立する。