[論文レビュー] On the Performance of Delta Hedging Strategies in Exponential Lévy Models

Stephan Denkl, Martina Goy+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、指数型Lévyモデルにおける平均二乗ヘッジ誤差の半明示的公式を、ラプラス変換アプローチを用いて開発し、ブラック・ショールズやモデルデルタといった非最適ヘッジ戦略を、平均・分散最適ヘッジと直接比較可能にする。主な貢献は、モデル不適合下でのパフォーマンスギャップを定量化するための取り扱いやすい手法を提供することにある。

ABSTRACT

We consider the performance of non-optimal hedging strategies in exponential Lévy models. Given that both the payoff of the contingent claim and the hedging strategy admit suitable integral representations, we use the Laplace transform approach of Hubalek et al. (2006) to derive semi-explicit formulas for the resulting mean squared hedging error in terms of the cumulant generating function of the underlying Lévy process. In two numerical examples, we apply these results to compare the efficiency of the Black-Scholes hedge and the model delta to the mean-variance optimal hedge in a normal inverse Gaussian and a diffusion-extended CGMY Lévy model.

研究の動機と目的

• 指数型Lévy過程に従う不完全市場における非最適デルタヘッジ戦略のパフォーマンスを定量化すること。
• マーティングールド仮定を越えて、一般のLévy過程およびより広いクラスのデルタ戦略にまで、平均二乗ヘッジ誤差に関する先行研究を拡張すること。
• 実用的ヘッジ戦略（例：ブラック・ショールズ、モデルデルタ）の効率性を理論的最適ヘッジと比較するための計算的に実行可能な手法を提供すること。
• 累積モーメント母関数およびペイオフと戦略の積分表現を用いて、ヘッジ誤差の数値評価を可能にすること。

提案手法

• Hubalekら[11]のラプラス変換アプローチを用いて、平均二乗ヘッジ誤差の半明示的表現を導出する。
• ヘッジ誤差を、基礎となるLévy過程の累積モーメント母関数および、クレームと戦略の積分表現を用いて表現する。
• 複素平面に沿った線積分を用いた複素解析的手法を適用し、ヘッジ誤差の二次変動および共変動成分を評価する。
• 半マルティングールド過程の確率積分および予測可能補正項の理論を用いて、誤差成分を厳密に定義および計算する。
• 主結果（定理4.2）を、クレームと戦略の積分表現をLévy過程の性質および特性関数の性質と組み合わせることで導出する。
• 実市場データからのキャリブレーションパラメータを用いた2つの数値例を通じて、手法の妥当性を検証する（NIGおよびCGMYモデル）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規逆ガウスLévyモデルにおいて、ブラック・ショールズデルタヘッジの平均二乗ヘッジ誤差は、平均・分散最適ヘッジと比べてどのように異なるか？
• RQ2 現実的なキャリブレーション下で、拡張型ブラウン運動付きCGMYLévyモデルにおいて、モデルデルタと最適ヘッジとの間のパフォーマンスギャップは何か？
• RQ3 ラプラス変換アプローチは、マーティングールド仮定を越えて、一般の指数型Lévyモデルにおけるヘッジ誤差の半明示的公式を導出可能か？
• RQ4 モデル不適合および非最適ヘッジ戦略は、不完全市場における最終期ヘッジ誤差の分布にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿では、累積モーメント母関数および複素積分表現を用いて、指数型LévyモデルにおけるΔ戦略の平均二乗ヘッジ誤差の半明示的公式を導出する。
• 正規逆ガウス（NIG）モデルでは、ブラック・ショールズヘッジは平均・分散最適ヘッジよりも著しく高いヘッジ誤差を示し、特に長期満期において顕著である。
• 拡張型ブラウン運動付きCGMYモデルでは、モデルデルタヘッジはブラック・ショールズヘッジを上回るが、分散最適戦略と比較して依然として測定可能な誤差を有する。
• 平均・分散最適ヘッジは、両モデルにおいて一貫して最小の平均二乗誤差を達成しており、理論的優位性が確認される。
• 導出された公式は計算的に取り扱いやすく、モンテカルロシミュレーションを用いずに、ヘッジ戦略の効率性を効率的に数値比較可能である。
• 本手法はモデル不適合に対してもロバストであり、ジャンプや確率的ボラティリティを有するLévy過程を含む広範なクラスのLévy過程に適用可能である。