[論文レビュー] On the periodic solutions of discontinuous piecewise differential systems

Jaume Llibre, Douglas D. Novaes|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非零な非摂動成分 $F_0$ を持つ不連続な区分的微分方程式系に対する新しい平均化理論を構築し、$F_0 \neq 0$ の場合に周期的解を扱える古典的平均化手法を拡張する。主な貢献は、リャプノフ＝シュミット還元と平均化を組み合わせた厳密な枠組みを確立し、$\theta = 0, \pi, 2\pi$ で不連続性を示す極座標系における摂動系への具体応用を通じて検証したことである。この手法により、明示的なパrameter条件のもとで一意な小振幅極小循環子が特定された。

ABSTRACT

Motivated by problems coming from different areas of the applied science we study the periodic solutions of the following differential system $$x'(t)=F_0(t,x)+\varepsilon F_1(t,x)+\varepsilon^2 R(t,x,\varepsilon),$$ when $F_0$, $F_1$, and $R$ are discontinuous piecewise functions, and $\varepsilon$ is a small parameter. It is assumed that the manifold $\mathbb{Z}$ of all periodic solutions of the unperturbed system $x'=F_0(t,x)$ has dimension $n$ or smaller then $n$. The averaging theory is one of the best tools to attack this problem. This theory is completely developed when $F_0$, $F_1$ and $R$ are continuous functions, and also when $F_0=0$ for a class of discontinuous differential systems. Nevertheless does not exist the averaging theory for studying the periodic solutions of discontinuous differential system when $F_0 eq0$. In this paper we develop this theory for a big class of discontinuous differential systems.

研究の動機と目的

• 非摂動系（$\varepsilon = 0$）に非自明な周期的解の多様体 $\mathcal{Z}$ が存在する（すなわち $F_0 \neq 0$）不連続な区分的微分方程式系への平均化理論の拡張を図ること。
• 非摂動系が非退化である場合に不連続系における周期的解を解析的に扱うためのツールの不足を是正すること。
• 区分的 $C^m$ ベクトル場が不連続性多様体 $\Sigma$ で分離される系に対して、平均化とリャプノフ＝シュミット還元に基づく厳密な理論的枠組みを確立すること。
• 特に $\dim \mathcal{Z} < n$ の場合に、そのような系における周期的解の存在に必要な十分条件を提示すること。

提案手法

• $\mathbb{S}^1 \times D$ 上の $N$ 個の不連続な区分的微分方程式系（DPDS）のクラスを形式化し、各 $F^n$ が互いに素な閉領域 $\overline{S_n}$ 上で連続であり、不連続性が $\Sigma$ という区分的 $C^m$ 多様体上で生じることを想定する。
• 非摂動項 $F_0$ が不連続で、$F_1$ と $R$ が連続である摂動系 $x' = F_0(t,x) + \varepsilon F_1(t,x) + \varepsilon^2 R(t,x,\varepsilon)$ に対して平均化法を適用する。
• 周期的解の存在を求める問題を、線形作用素の核上での方程式系の解法に還元するリャプノフ＝シュミット還元を用い、非摂動多様体 $\mathcal{Z}$ からの分岐解析を可能にする。
• 平均化アプローチの有効性を保証するための4つの主要仮定（$H$, $H1$, $H2$, $H3$, $H4$）を定義・検証し、特に $\Sigma$ への流れの横断性、モノドロミーの非退化性、遷移写像の滑らかさを含む。
• 特定の角度での不連続性の解析を簡素化するために、時間変数 $\theta$（例：極座標系における角速度時間）に変換する。
• 記号計算（例：Mathematica/Maple）を用いて一次平均化関数 $f_1(\alpha)$ を計算し、$f_1(\alpha)$ がゼロに横断的であることを確認することで、周期的解に対応する非退化ゼロが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非摂動系（$\varepsilon = 0$）に非自明な周期的解の多様体 $\mathcal{Z}$ が存在する（$F_0 \neq 0$）不連続な区分的微分方程式系において、古典的平均化理論を拡張できるか。
• RQ2 特に不連続性多様体 $\Sigma$ が周期的解と交差する場合に、そのような系における周期的解の存在に必要な十分条件は何か。
• RQ3 リャプノフ＝シュミット還元技法を不連続ベクトル場に適応し、$\mathcal{Z}$ の近傍で一意な解分岐が保証されるようにするにはどうすればよいか。
• RQ4 ベクトル場が不連続性多様体 $\Sigma$ に対して横断的であることは、小刻みな摂動のもとでの周期的解の保存にどのような役割を果たすか。
• RQ5 具体応用で示されたように、どのような明示的パrameter条件下で系が一意な小振幅極小循環子を有するか。

主な発見

• 本稿は、$F_0 \neq 0$ である不連続な区分的系に対する新しい平均化理論を成功裏に構築し、これまでは利用可能なツールがなかった分野における重要な空白を埋めた。
• 一次平均化関数 $f_1(\alpha)$ のゼロ点における導関数 $f_1'(a) \neq 0$ の非消滅性が、周期的解の存在に十分な条件として確立された。これは非退化分岐を保証する。
• 極座標系における具体的応用では、$\left(b_1^+ + b_1^- + c_2^+ + c_2^- ight)\left(a_2^- - a_2^+\right) > 0$ である限り、一意な周期的解が存在することが示された。この条件下で、$f_1(a) = 0$ を満たす一意な $\alpha = a = \frac{4(a_2^- - a_2^+)}{\pi(b_1^+ + b_1^- + c_2^+ + c_2^-)}$ が存在する。
• 平均化関数 $f_1(\alpha)$ は明示的に $f_1(\alpha) = \frac{\pi}{2}\left(b_1^+ + b_1^- + c_2^+ + c_2^- ight)\alpha + 2(a_2^+ - a_2^-)$ として計算され、その線形性により、$a$ を中心とする近傍 $W$ の境界上で $f_1(\alpha) \neq 0$ が保証され、解の存在に必要な次数条件を満たす。
• $H$, $H1$, $H2$, $H3$, $H4$ の仮定が極座標系の例に対して完全に検証され、理論的枠組みの適用可能性が確認された。
• この手法により、摂動系に一意な小振幅極小循環子が存在することが確認された。解は、指定されたパrameter制約のもとで、多様体 $\mathcal{Z} = \{ (\alpha, 0) \mid r_1 \leq \alpha \leq r_2 \}$ から生じる。