[論文レビュー] On the point transformations for the second order differential equations. I

V. V. Dmitrieva, Руслан Шарипов|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 1997

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 7被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、一般の点変換の下で、形式 $ y'' = P + 3Qy' + 3R(y')^2 + S(y')^3 $ の2階常微分方程式の同値問題を解決する。不変量を構成し、カルタンの移動標構法を用いて標準形を導出し、不変量と係数の明示的関係を確立する。一般位置にある方程式および不変量が定数である特殊ケースに対する主要な結果を提示する。

ABSTRACT

Point transformations for the ordinary differential equations of the form $y''=P(x,y)+3 Q(x,y) y'+3 R(x,y) (y')^2+S(x,y) (y')^3$ are considered. Some classical results are resumed. Solution for the equivalence problem for the equations of general position is described.

研究の動機と目的

• 形式 $ y'' = P + 3Qy' + 3R(y')^2 + S(y')^3 $ の2階ODEの一般点変換の下での同値問題を解く。
• 特異な対称性によって制約されない係数を持つ一般位置にある方程式へ、トレッセとカルタンの古典的結果を一般化する。
• 微分不変量を構成し、関連する構造方程式を解くことによって、このような方程式の標準形を導出する。
• 不変量が定数である方程式を分類し、不変量と係数の関数的関係を特定する。

提案手法

• 係数 $ P, Q, R, S $ から対称的な3次元配列 $ \theta_{ijk} $ を構成し、$ \theta_{111} = P $、$ \theta_{112} = \theta_{121} = \theta_{211} = Q $ などとする。
• 反対称行列 $ d^{ij} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $ を用いて添字を上げ、$ \theta^k_{ij} = \sum_r d^{kr} \theta_{rij} $ を定義する。
• ヤコビ行列 $ S $（直接）および $ T $（逆）を用いて、点変換における $ \theta^k_{ij} $ の変換則を導出する。
• カルタンの移動標構法を用い、関数 $ u $ および $ v $ に関する偏微分方程式系（例：$ v \partial u / \partial y = -L u $ および $ u \partial v / \partial x = -K v $）を解くことにより、標準座標を構成する。
• 特定の解 $ u = -K(\tilde{x} + \tilde{y}) $、$ v = -L(\tilde{x} + \tilde{y}) $ を選ぶことにより、標準変数 $ \tilde{x}, \tilde{y} $ を導入する（$ K \neq 0 $、$ L \neq 0 $ の場合）。
• 構造方程式および正規化条件を用いて、不変量 $ I_3, I_7 $ およびパrameter $ K, L $ を用いて、変換された係数 $ \tilde{P}, \tilde{Q}, \tilde{R}, \tilde{S} $ の明示的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式 $ y'' = P + 3Qy' + 3R(y')^2 + S(y')^3 $ の2階ODEが一般点変換の下で同値であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 微分不変量が定数である場合、このような方程式の標準形をどのように構成できるか？
• RQ3 $ K \neq 0 $、$ L \neq 0 $ であり、不変量が定数であるとき、不変量 $ I_3 $ および $ I_7 $ が満たすべき関数的関係は何か？
• RQ4 方程式が一般位置にあるとき、係数は点変換によってどのように変化するか？
• RQ5 カルタンの移動標構法を用いて、一般位置にあるすべての方程式に対して同値問題を一様に解けるか？

主な発見

• F = 0 の場合、標準形は $ \tilde{y}'' = -\frac{1}{3}e^{-K\tilde{x}} + 2K\tilde{y}' + 3I_3 e^{K\tilde{x}} (\tilde{y}')^2 + I_7 e^{2K\tilde{x}} (\tilde{y}')^3 $ であり、$ I_7 + KI_3 = 0 $ および $ -8I_7K^2 + 6KI_3^2 + 9 = 0 $ を満たす。
• $ K \neq 0 $、$ L \neq 0 $ であり不変量が定数である場合、標準係数は $ \tilde{F} = \frac{3}{KL(\tilde{x}+\tilde{y})^2} $、$ \tilde{B} = -\frac{9}{KL^2(\tilde{x}+\tilde{y})^3} $、$ \tilde{P} = -\frac{L}{3K^2(\tilde{x}+\tilde{y})} $、$ \tilde{Q} = -\frac{1}{\tilde{x}+\tilde{y}} $ である。
• $ \tilde{R} $ および $ \tilde{S} $ は $ \tilde{R} = \frac{-3I_3 - 2}{3(\tilde{x}+\tilde{y})} $、$ \tilde{S} = -\frac{I_7K}{L^2(\tilde{x}+\tilde{y})} $ で与えられ、$ I_3 $ および $ I_7 $ は $ 3KI_7 + 3(K^2 - 2L)I_3 + 6L^2 - 8LK^2 = 0 $ および $ 6KI_3^2 - 7KLI_3 - 8K^2I_7 - I_7L + 9 = 0 $ を満たす。
• 点変換における $ \theta^k_{ij} $ の変換則は $ \theta^k_{ij} = \sum_{m,p,q} S^k_m T^p_i T^q_j \tilde{\theta}^m_{pq} + \sum_m S^k_m \frac{\partial T^m_i}{\partial x^j} - \frac{\tilde{\sigma}_i \delta^k_j + \tilde{\sigma}_j \delta^k_i}{3} $ であり、これが完全な同値構造を符号化している。
• 本稿は、トレッセとカルタンの古典的結果を一般位置にある方程式へ一般化し、このクラスの同値問題に対する完全な解を提供する。