[論文レビュー] On the pointwise convergence of multiple ergodic averages

El Houcein El Abdalaoui|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特定の非特異な力学系において、最大エルゴード不等式が成立しないことを確立しており、これはFurstenbergの多重エルゴード平均の逐次収束を示すための鍵となる戦略を揺るがすものである。しかしながら、弱混合系に追加のエルゴード的条件を課した場合、特定の部分列に沿って平均がほとんど everywhere に収束することを示しており、長年の逐次収束問題に対する部分的な肯定的解決を提示している。

ABSTRACT

It is shown that there exist a subsequence for which the multiple ergodic averages of commuting invertible measure preserving transformations of a Lebesgue probability space converge almost everywhere provided that the maps are weakly mixing with an ergodic extra condition. The proof provides a example of non-singular dynamical system for which the maximal ergodic inequality does not hold. We further get that the non-singular strategy to solve the pointwise convergence of the Furstenberg ergodic averages fails.

研究の動機と目的

• 非特異力学系における多重エルゴード平均の逐次収束を調査すること。
• 古典的エルゴード定理の中心的役割を果たす、そのような系において最大エルゴード不等式が成立するか否かを特定すること。
• Assaniが以前に提唱した非特異的アプローチが、Furstenberg平均の逐次収束を確立するのに成功するか否かを検討すること。
• 最大不等式が完全に不成立であっても、部分列に沿ったほとんど everywhere での収束に関する肯定的結果を提供すること。
• 非特異的力学系に基づく戦略が、最大不等式の崩壊により失敗することを示すが、部分列に沿った収束性は依然として成立する。

提案手法

• 最大エルゴード不等式が成立しない非特異力学系を、適切に選ばれた測度と変換構造を用いて構築する。
• Tulecaの定理を適用して、最大不等式の不成立にもかかわらず、非特異写像における個々のエルゴード定理が成立することを確立する。
• Koopman作用素とその随伴（Perron-Frobenius作用素）を用いて、$ L^\natural $ および $ L^1 $ 空間における変換の作用を分析する。
• Ryll-NardzewskiのアプローチとMazur-Banach極限手続きを用いて、押し出しの凸結合から不変なファイニットリー加法的測度を構成する。
• 与えられた非特異測度 $ \widehat{\lambda} $ に支配される不変確率測度のRyll-Nardzewskiクラスを定義し、Alaoglu-Banach-Bourbakiによる弱*コンパクト性を保証する。
• 可換な変換の共同作用をモデル化するために、対角成分と反復前像の重み付き和を用いて定義される $ \nu $ を用いた結合構成を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Furstenberg平均の研究に用いられる非特異力学系において、最大エルゴード不等式が成立するか？
• RQ2 最大不等式が不成立であっても、非特異系における多重エルゴード平均の逐次収束を確立できるか？
• RQ3 結合と転送作用素に基づく非特異的戦略は、Furstenberg平均の逐次収束を証明するのに有効か？
• RQ4 弱混合系に追加のエルゴード的条件を課した場合、部分列に沿ってほとんど everywhere での収束が達成可能か？
• RQ5 Ryll-Nardzewskiクラスの不変測度は、非特異系における有効なエルゴード理論を構築する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 最大エルゴード不等式が成立しない非特異力学系が存在し、これは古典的エルゴード理論の中心的道具を無効にしている。
• 最大不等式の不成立にもかかわらず、Tulecaの定理により非特異写像 $ \phi $ に対して個々のエルゴード定理が成立することが示された。
• 弱混合で可換な測度保存変換に対して、特定の部分列 $ (N_l) $ に沿って多重エルゴード平均がほとんど everywhere に収束する。最大不等式が成立しなくても成立する。
• 非特異的戦略は、最大不等式の崩壊により、Furstenberg平均の逐次収束を証明するのに失敗するが、部分列に沿った収束性は依然として成立する。
• $ \widehat{T} $-不変で $ \widehat{\lambda} $ に支配される測度の集合 $ \Pi^*(\widehat{T}, \widehat{\lambda}) $ は空でなく、弱*コンパクトであり、極値点はエルゴード測度に対応する。
• この構成により、平均のBanach-Mazur極限を用いて得られる不変測度 $ \widehat{\rho} \leq K \cdot \widehat{\lambda} $ のRyll-Nardzewskiクラスが得られ、不変性と支配性が保証される。