[論文レビュー] On the polar Orlicz-Minkowski problems and the $p$-capacitary Orlicz-Petty bodies

Xiaokang Luo, Deping Ye+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2018

Point processes and geometric inequalities被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Orlicz関数型汎関数と $p$-容量制約を伴う最適化問題に対する解の存在および一意性を確立する、極座標型Orlicz-Minkowski問題を導入する。変分法および球面上の測度論的解析を用いて、古典的Minkowski理論をOrlicz設定へと拡張し、$p$-capacitary Orlicz-Petty体の存在および連続性を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we propose and study the polar Orlicz-Minkowski problems: under what conditions on a nonzero finite measure $μ$ and a continuous function $φ:(0,\infty) ightarrow(0,\infty)$, there exists a convex body $K\in\mathcal{K}_0$ such that $K$ is an optimizer of the following optimization problems: \begin{equation*} \inf/\sup \bigg\{\int_{S^{n-1}}φ\big( h_L \big) \,d μ: L \in \mathcal{K}_{0} \ ext{and}\ |L^\circ|=ω_{n}\bigg\}. \end{equation*} The solvability of the polar Orlicz-Minkowski problems is discussed under different conditions. In particular, under certain conditions on $φ,$ the existence of a solution is proved for a nonzero finite measure $μ$ on $S^{n-1}$ which is not concentrated on any hemisphere of $S^{n-1}.$ Another part of this paper deals with the $p$-capacitary Orlicz-Petty bodies. In particular, the existence of the $p$-capacitary Orlicz-Petty bodies is established and the continuity of the $p$-capacitary Orlicz-Petty bodies is proved.

研究の動機と目的

• Orlicz型汎関数を最適化する凸体を、$p$-容量または体積制約のもとで求める、極座標型Orlicz-Minkowski問題を定式化し、その解法を提示すること。
• Orliczノルムおよび表面測度を含む新しい変分汎関数を導入することで、$L_q$ ブルン＝ミンコフスキー理論をOrlicz設定へと拡張すること。
• 古典的 $L_q$ Petty体の自然な一般化として、$p$-capacitary Orlicz-Petty体の存在および連続性を確立すること。
• Orlicz関数 $ heta$ に適切な条件が満たされる場合、$S^{n-1}$ 上の非ゼロで有限な測度 $ u$ が任意の半球に集中していない限り、解が存在することを示すこと。
• $p$-容量および変分原理を用いて、古典的Minkowski型不等式およびgeominimal表面積理論をOrlicz設定へと一般化すること。

提案手法

• 固定された極体体積 $|K^ullet| = \rho_n$ を持つ凸体 $K \notin \tilde{\rho}$ に対する最適化問題として、極座標型Orlicz-Minkowski問題を定式化し、測度 $\nu$ に関して $\theta(h_L)$ を最小化する。
• 変分法を適用して、最適化子に対するEuler-Lagrange型方程式を導出し、表面測度 $S(K, \bullet)$ および支持関数 $h_K(u)$ を用いる。
• 任意の $L$ に対して $|L^\bullet| = \rho_n$ を満たすものに関して、$\tilde{\rho}_{p,\theta}(K, L) = \theta\big( \frac{h_L(u)}{h_K(u)} \big) h_K(u) \big)$ を最小化する形で、$p$-capacitary Orlicz-Petty体 $M$ を定義する。
• コンパクト性の議論および収束定理（例えば、部分列 $\tilde{M}_{i_k} \to \tilde{M}$ を通じて）を用いて、極限における最適化子の存在を証明する。
• 測度の収束およびHausdorff収束における $p$-容量 $C_p(L^\bullet)$ の収束を用いて、$p$-capacitary Orlicz-Petty体写像の連続性を確立する。
• 凸体幾何学の結果（$L_q$ Minkowski不等式および古典的Minkowski問題など）を応用し、Orlicz設定における類似結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限測度 $\nu$ が $S^{n-1}$ 上に定義され、連続関数 $\theta:(0,\rho) \to (0,\rho)$ が与えられたとき、極座標型Orlicz-Minkowski問題が解をもつための条件は何か？
• RQ2 $p$-容量およびOrlicz汎関数を用いて、$L_q$ geominimal表面積および $L_q$ Petty体をどのようにOrlicz設定に一般化できるか？
• RQ3 与えられた凸体 $K$ に対して、$p$-capacitary Orlicz-Petty体の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ4 Hausdorff収束の下で、凸体 $K$ からその $p$-capacitary Orlicz-Petty体 $M$ への写像は連続か？
• RQ5 $p$-容量およびOrliczノルムを含む変分定式化を用いて、古典的Minkowski問題および $L_q$ Minkowski問題をOrlicz設定へと拡張できるか？

主な発見

• 任意の非ゼロで有限な測度 $\nu$ が $S^{n-1}$ 上に定義され、任意の半球に集中していない場合、かつ $\theta \to \theta$ が適切な凸性または単調性条件を満たすならば、$|K^\bullet| = \rho_n$ を満たす極座標型Orlicz-Minkowski問題に対して、$K \notin \tilde{\rho}$ なる解が存在する。
• $p$-capacitary Orlicz-Petty体 $M$ は任意の $K \notin \tilde{\rho}$ に対して存在し、$|M^\bullet| = \rho_n$ を満たす。さらに $\theta$ が凸関数であれば、$M$ は一意に定まる。
• $K \notin \tilde{\rho}$ からその $p$-capacitary Orlicz-Petty体 $M$ への写像 $K \to M$ は、$K$ のHausdorff収束の下で連続である。
• 任意の $L \notin \tilde{\rho}$ で $|L^\bullet| = \rho_n$ を満たすものに関して、汎関数 $\tilde{\rho}_{p,\theta}(K, L)$ は下界に達し、最小化子 $M$ は $p$-容量およびOrliczノルムを含む変分的特徴付けを満たす。
• $p$-capacitary Orlicz-Petty体の構成は、古典的 $L_q$ Petty体および $L_q$ geominimal表面積を一般化するものであり、$\theta(t) = t^q$ のとき $G_q(K)$ が特別な場合として得られる。
• 列 $K_i \to K$ の収束が、関連する $p$-capacitary Orlicz-Petty体 $M_i \to M$ の収束をもたらす。これにより、構成の安定性および連続性が証明される。