[論文レビュー] On the pole structures of the disconnected part of hyper elliptic g loop M point super string amplitudes

Akihiro Tsuchiya|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、超楕円的場合における genus-g、M点のスーパーフィールド振幅の非接続部分の極構造を、NSR形式を用いて調査する。古典的アーベル関数論と、スピン構造依存性がモジュラー不変部分とワイエルシュトラス ℘-関数に依存する部分に分解可能であるという予想を活用することで、スピン構造の和を体系的に取り扱う手法を導出し、既知の genus-2 四点振幅結果を再現するとともに、g(g+1)/2 が奇数であるというパリティ条件の下で、genus-1 の結果をより高次の genus および M点振幅へ一般化する。

ABSTRACT

Structures of the disconnected part of higher genus superstring amplitudes restricted to the hyper elliptic cases are investigated in the NSR formalism, based on the DHoker Phong and recent results. A set of equations, which we can regard as a basic tool to sum over the spin structures of any of g loop, M point amplitudes systematically, is shown by using a classical result of Abelian functions. We discuss structures of g loop, M point massless external boson superstring amplitudes by assuming that the spin structure dependence of any of the disconnected amplitudes is only on one kind of constants, the genus g Weierstrass Pe function valued at the summation of g number of half periods chosen out of 2g+1 half periods. This is a natural generalization of the case of genus 1. This assumption will be validated by a conjectured theorem which states that the spin structure dependent part of any string amplitude will be naturally decomposed into two parts. One is composed of manifestly modular invariant functions of positions of inserting operators, and the other is the polynomial of Pe function constants related to the moduli of Riemann surfaces only. It is shown that this is actually the case for any M for g=1, and M=1,2,3 for any g. Due to a technical problem, our consideration is at present restricted to the case that g(g+1)divided by 2 is odd. Example calculations are shown for the genus 2 by the method described here. In particular, our method correctly reproduces biholomorphic 1 form of DHoker Phong result as for the four point amplitudes of the disconnected parts.

研究の動機と目的

• 超楕円的場合における高(genus)のスーパーフィールド振幅の非接続部分の構造を理解すること。
• g-ループ、M点振幅におけるスピン構造の和を体系的に扱う方法を開発すること。
• genus-1 の結果—スピン構造依存性が半周期におけるワイエルシュトラス ℘-関数によって支配されること—を、より高次の genus へ一般化すること。
• 振幅がモジュラー不変部分とモジュライに依存する部分に分解可能であるという予想を検証すること。
• この手法を genus 2 に適用し、DHoker-Phongフレームワークにおける双正則1形式の既知の結果を再現すること。

提案手法

• g-ループ振幅におけるスピン構造の和を記述する方程式群を、アーベル関数論の古典的結果を用いて導出する。
• スピン構造依存性が、2g+1 個の半周期から選ばれた g 個の半周期の和における genus-g ワイエルシュトラス ℘-関数にのみ依存すると仮定する。
• 振幅依存性が二つの部分に分解可能であるという予想された定理を適用する。一方は演算子の位置に関して明示的にモジュラー不変であり、もう一方はリーマン面のモジュライに結びつく ℘-関数定数の多項式である。
• 整合性の確認のため、genus 2 において四点振幅に焦点を当て、この手法を実装する。
• スピン構造の和を扱う技術的制約により、g(g+1)/2 が奇数であるという条件に依存する。
• DHoker と Phong による genus 2 四点振幅における双正則1形式の結果を再現することで、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超楕円的場合における g-ループ、M点スーパーフィールド振幅におけるスピン構造依存性を、どのように体系的に和集合できるか？
• RQ2 genus-1 の結果—スピン構造依存性がワイエルシュトラス ℘-関数によって支配される—は、より高次の genus へどの程度一般化可能か？
• RQ3 振幅を、モジュラー不変部分とリーマン面のモジュライにのみ依存する部分に分解できるか？
• RQ4 提案された手法は、例えば genus 2 四点振幅における双正則1形式のような既知の結果を正しく再現するか？
• RQ5 スピン構造の和を扱う文脈において、g(g+1)/2 が奇数であるという要件が生じる制約は何か？

主な発見

• この手法は、非接続部分において、DHoker と Phong が得た genus-2 四点振幅における双正則1形式の結果を正確に再現した。
• genus 1 において、スピン構造依存性が半周期におけるワイエルシュトラス ℘-関数によって支配されることを確認し、提示された仮定の下でより高次の genus へ一般化された。
• 振幅がモジュラー不変部分とモジュライに依存する部分に分解可能であるという予想は、genus 1 および任意の genus における M=1,2,3 に対して検証された。
• スピン構造の和は、古典的アーベル関数論から導かれた方程式群によって体系的に記述できる。
• g(g+1)/2 が奇数であるという技術的制限により、現在の手法の適用範囲が制限されるが、genus 2 を含む重要なケースでは成立する。
• このアプローチは、より高次の genus および M点の場合における非接続振幅の極構造を計算する一貫性のある枠組みを提供する。