[論文レビュー] On the polyhedron of the K-partitioning problem with representative variables

Zacharie Alès, Arnaud Knippel+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2014

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、クラスタ数を固定し、対称性を解消するためのエッジ変数と代表変数を用いた混合整数線形定式化を、K分割問題に導入する。2-弦付きサイクル、2分割、クリーク、強化三角形、パーム不等式といった顔を定義する不等式を同定し、特にエッジ重みが多様な完全グラフにおいて、線形緩和の下界が顕著に向上することを示している。

ABSTRACT

The K-partitioning problem consists of partitioning the vertices of a graph in K sets so as to minimize a function of the edge weights. We introduce a linear mixed integer formulation with edge variables and representative variables. We consider the corresponding polyhedron and show which inequalities are facet-defining. We study several families of facet-defining inequalities and provide experimental results showing that they improve significantly the linear relaxation of our formulation.

研究の動機と目的

• 線形緩和の強化を通じて、K分割問題の正確な解法手法の改善に取り組む。
• クラスタ数Kを固定し、代表変数を用いて対称性を低減する混合整数線形定式化を構築する。
• 代表変数を用いたK分割問題の多面体に対して、どの不等式が顔を定義するかを同定する。
• 分枝限定法によるグラフ分割問題の正確な解法のための下界向上を目的とした多面体的分析を提供する。
• 完全グラフ上での実験結果を用いて、顔を定義する不等式の実用的影響を示す。

提案手法

• エッジ変数（x_{u,v}）と代表変数（x_u）を用いた混合整数線形定式化を提案し、各クラスタの最小インデックス頂点を示す。
• この定式化下でのすべての妥当なK分割の凸包を多面体 P_{n,K} として定義する。
• 多面体を含む超平面における係数関係を分析するための変換（例：T(C, S, T)）を適用し、顔を定義する条件を証明する。
• 自明な不等式、2-弦付きサイクル不等式、2分割不等式、一般クリーク不等式が、特定の構造的条件を満たす場合に顔を定義することを同定する。
• 標準三角不等式に代表変数制約を追加することで強化し、大多数のケースで顔を定義することを示す。
• 4頂点集合に対するパーム不等式を導入・分析し、顔を定義するための必要十分条件を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案された定式化におけるどの不等式がK分割多面体 P_{n,K} の顔を定義するか？
• RQ2 代表変数を用いることで、標準的なエッジ変数のみの定式化と比較して多面体構造はどのように改善されるか？
• RQ3 強化三角不等式が顔を定義する条件は何か？
• RQ4 パーム不等式が多面体 P_{n,K} の顔を定義するための必要十分条件は何か？
• RQ5 同定された顔を定義する不等式は、実際の線形緩和の下界にどの程度向上効果をもたらすか？

主な発見

• 2-弦付きサイクル不等式は、サイクル長が4以上であり、代表変数条件を満たす場合に P_{n,K} の顔を定義する。
• 2分割不等式は、2つのクラスタが空でなく、代表変数制約が適切に適用されている場合に顔を定義する。
• 一般クリーク不等式は、クリークサイズが3以上であり、代表変数制約が満たされている場合に顔を定義する。
• 標準三角不等式に代表変数制約を組み合わせて強化した不等式は、大多数のケースで顔を定義し、線形緩和の下界を顕著に向上させる。
• パーム不等式は、d < b < c かつ a < b のときにのみ顔を定義する。c < b または K = n−2 の場合、面 F_P は顔でない。
• 実験結果から、これらの顔を定義する不等式を組み込むことで、エッジ重みが多様な完全グラフにおいて線形緩和値が著しく向上することが示された。