[論文レビュー] On the poset of King-Non-Attacking permutations

Eli Bagno, Estrella Eisenberg+2 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、隣接する値が1より大きい差をもつ（キング非相互作用的と呼ばれる）置換の包含順序に関する半順序集合（poset）を調査する。[2413] と [3142] が基本的な構築要素であることを示し、両方を含まない置換ではモビウス関数が0になることを証明している。また、プリンス（posetにおける直前の先行要素が存在しない置換）とチェーンの構造を同定し、これらの2つのパターンのインフレーションによって、プリンスを含まない置換の完全な記述がなされている。

ABSTRACT

A king-non-attacking permutation is a permutation $π\in S_n$ such that $|π(i)-π(i-1)| eq 1$ for each $i \in \{2,\dots,n\}$. We investigate the structure of the poset of these permutations under the containment relation, and also provide some results on its Möbius function.

研究の動機と目的

• キング非相互作用的置換の包含順序における半順序集合の構造を分析すること。
• [2413] と [3142] のインフレーションによる表現を用いて、プリンス（posetにおける直前の先行要素が存在しない置換）を含まない置換を特徴付けること。
• キング置換の半順序集合におけるモビウス関数が0になる条件を特定すること。
• ステップサイズが1または3のチェーンが存在することを示すことにより、半順序集合の密度を確立すること。
• 置換の幅とk-豊富性（特にk=1の場合）との関係を調査すること。

提案手法

• 置換のプロットにおける要素間のマンハッタン距離を用いて幅を定義し、キング置換が幅が3以上である置換であることを示している。
• 置換の包含関係とプリンスの概念を用いて、半順序集合の構造を分析している。
• キング置換の半順序集合におけるモビウス関数を、区間上の包含除外原理を用いて計算している。
• 帰納法と区間分解を用いて、[2413] または [3142] を回避する置換ではモビウス関数が0になることを証明している。
• K₅における非ゼロモビウス関数を持つ唯一の置換である、[2413] と [3142] を両方含む5要素キング置換の集合Hを導入している。
• 置換パターン、単純置換、インフレーションの結果を用いて、半順序集合の階層的構造を記述している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キング非相互作用的置換の半順序集合において、プリンス（直前の先行要素が存在しない置換）を含まない置換はどれであり、どのように特徴付けられるか？
• RQ2 キング置換の半順序集合におけるモビウス関数が0になる条件は何か？
• RQ3 任意の2つのキング置換が、ステップサイズが1または3のチェーンで接続可能か？
• RQ4 [2413] と [3142] が半順序集合の構造において、どのように基本的構成要素として機能するか？
• RQ5 置換の幅とk-豊富性（特にk=1の場合）との関係は何か？

主な発見

• すべてのキング置換の半順序集合におけるモビウス関数は、[2413] と [3142] の両方を含まない場合に0になる。
• 長さ5のキング置換の中で非ゼロモビウス関数を持つのは、H = {[24153], [35142], [42513], [31524]} に属する4つの置換のみであり、それぞれμ = 1である。
• 置換がプリンスを含まないための必要十分条件は、[2413] と [3142] の2つの基本パターンのインフレーションである。
• 任意のキング置換π ≺ σに対して、|πⁱ| − |πⁱ⁻¹| ∈ {1, 3} を満たすチェーン π = π⁰ ≺ π¹ ≺ ⋯ ≺ πᵏ = σ が存在する。
• すべての他のプリンスが[2413] または [3142] を回避する場合、唯一のプリンスπ ∈ H を持つキング置換σに対し、モビウス関数は0になる。
• 半順序集合は密度を持つ。すなわち、任意のπ ≺ σを満たす区間[π, σ]には、長さの差が1または3であるチェーンが存在する。