[論文レビュー] On the possibility of unifying the electromagnetic and the gravitational fields

Gunnar Nordström|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2007

Relativity and Gravitational Theory被引用数 6

ひとこと要約

1914年のこの論文において、グンナー・ノールストロームは、4次元時空を5次元多様体内の超曲面（「ブレイン」または「Weltfläche」）として埋め込むことにより、電磁気学と重力を5次元で統一する理論を提唱した。一般化された電磁気学的形式主義を用い、5次元の場強度テンソルとゲージポテンシャルを導入することで、5次元ゲージ不変性の条件下で、マクスウェル方程式とスカラー重力場に分離する場の運動方程式を導出した。これは後のカユーザ＝クライン理論の基礎的アイデアを形作った。

ABSTRACT

This is the first paper by Gunnar Nordstr{\\"o}m (1881--1923) on his five dimensional theory. In his summary he states: ''It is shown, that a unifying treatment of the electromagnetic and gravitational fields is possible, if one considers the four dimensional spacetime world to be a surface in a five dimensional world.'' This paper was followed by two other papers written by the Gunnar Nordstr{\\"o}m during the one year period 1914--1915, on the same subject, which are also made available here.

研究の動機と目的

• 電磁気場と重力場を一つの幾何的枠組み内で統一すること。
• ミンコフスキーの4次元時空形式を5次元に拡張し、両方の場を扱えるようにすること。
• 5次元において、電磁気的および重力的状態が単一の反対称場テンソルによって記述できることを示すこと。
• 電磁気的および重力的成分への分離が、5次元ゲージ条件から自然に生じることを示すこと。

提案手法

• 座標 (x, y, z, t, w) を持つ5次元時空を導入し、w = ict は虚数時間次元である。
• 電磁気的場（F_xy, F_xu など）と重力的場（F_xw, F_wu など）に対応する成分を持つ5次元場強度テンソル F_ij を定義する。
• 場の運動方程式を dF = 0 および d*F = J として定式化し、巡回置換の下で ∂_j F^{ij} = J^i および ∂_j F^{ij} = 0 に等価であることを示す。
• 5次元目への依存性がない条件 ∂^5 A^k = 0 を課すことにより、方程式を電磁気的およびスカラー重力的セクターに分離する。
• 5次元ラグランジアン密度 L = -1/4 F_ij F^{ij} + A_i J^i を用いてエネルギー運動量テンソルと保存則を導出する。
• ネーターの定理を適用し、時空の並進変換に対する保存電流を導出する。特に、5番目の次元への並進に対応する5次元運動量を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電磁気学と重力は、高次元時空において単一の場テンソルによって記述可能か？
• RQ2 5次元形式主義は、どのように自然に電磁気的および重力的成分に分離するか？
• RQ3 この統一理論における5番目の次元の物理的解釈は何か？
• RQ4 5次元においてエネルギー運動量の保存が成り立つか。また、5番目の成分は物理的に何を意味するか？
• RQ5 統一場の運動方程式は、5次元における変分原理から導出可能か？

主な発見

• 5次元において dF = 0 および d*F = J の場の運動方程式は、5次元目が ∂^5 A^k = 0 の条件でコンパクト化されると、標準的なマクスウェル方程式とスカラー重力場が再現される。
• エネルギー運動量テンソル T^{ij} = F^i_k F^{kj} + (1/4)δ^{ij} F_{kl} F^{kl} は、最初の4次元において保存され、運動量およびエネルギー保存に対応する。
• エネルギー運動量保存則の5番目の成分 ∂_j T^{5j} = 0 は、保存される5次元運動量に対応するが、その物理的解釈はまだ明確でない。
• 場の運動方程式は5次元ラグランジアンから導出可能であり、ネーターの定理により時空並進変換に対する保存電流が存在することが確認された。
• 電流密度 J^i は保存され、dJ = 0 であるため、場の運動方程式における源項の整合性が保証される。
• 仮定 ∂^5 A^k = 0 により、5次元ゲージポテンシャルは電磁気的成分（A^1–A^4）と重力的スカラー・ポテンシャル（A^5）に分離され、J^5 は物質密度を表す。