[論文レビュー] On the Power of Advice and Randomization for Online Bipartite Matching

Christoph Dürr, Christian Konrad+1 more|Bristol Research (University of Bristol)|Feb 23, 2016

Optimization and Search Problems被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、オンライン二部マッチングにおける助言とランダム化のパワーを調査し、(1−ε)-競合比を達成する決定的アルゴリズムを得るために、Ω(log(1/ε)n)の助言ビットが必要であり、O(1/ε⁵n)で十分であることを示している。助言はランダム化を著しく上回ることを確立しており、O(log n)の助言ビットで3/5-競合比のアルゴリズムが可能である一方、10ビットのランダムビットのみで、1−1/eに非常に近い近似的最適性能が達成される。

ABSTRACT

While randomized online algorithms have access to a sequence of uniform random bits, deterministic online algorithms with advice have access to a sequence of advice bits, i.e., bits that are set by an all powerful oracle prior to the processing of the request sequence. Advice bits are at least as helpful as random bits, but how helpful are they? In this work, we investigate the power of advice bits and random bits for online maximum bipartite matching (MBM). The well-known Karp-Vazirani-Vazirani algorithm is an optimal randomized $(1-\frac{1}{e})$-competitive algorithm for extsc{MBM} that requires access to $Θ(n \log n)$ uniform random bits. We show that $Ω(\log(\frac{1}ε) n)$ advice bits are necessary and $O(\frac{1}{ε^5} n)$ sufficient in order to obtain a $(1-ε)$-competitive deterministic advice algorithm. Furthermore, for a large natural class of deterministic advice algorithms, we prove that $Ω(\log \log \log n)$ advice bits are required in order to improve on the $\frac{1}{2}$-competitiveness of the best deterministic online algorithm, while it is known that $O(\log n)$ bits are sufficient. Last, we give a randomized online algorithm that uses $c n$ random bits, for integers $c \ge 1$, and a competitive ratio that approaches $1-\frac{1}{e}$ very quickly as $c$ is increasing. For example if $c = 10$, then the difference between $1-\frac{1}{e}$ and the achieved competitive ratio is less than $0.0002$.

研究の動機と目的

• オンライン二部マッチングにおける助言ビットとランダムビットの相対的パワーを理解すること。
• (1−ε)-競合比を達成するために必要な最小の助言ビット数を特定すること。
• 決定的オンラインアルゴリズムにおける助言による競合比の向上を分析すること。
• 助言ベースのアルゴリズムとKVVのようなランダム化アルゴリズムの性能を比較すること。
• 1/2および1−1/eを超える競合比を達成するための助言複雑度のタイトな境界を確立すること。

提案手法

• 入力の到着前に最適な助言文字列を提供するオракルを持つ助言モデルを用い、標準的なオンラインアルゴリズムを上回る決定的アルゴリズムの性能を可能にする。
• 未マッチのB-頂点を貪欲マッチング内でカテゴリ1に、マッチ済みのものをカテゴリ2に分類するカテゴリベースの助言アルゴリズムを提案し、m個の助言ビットを用いる。
• 助言カテゴリに基づいた再順序付けられた置換を用いたランク付けアルゴリズムを適用し、マッチング品質を向上させる。
• 未マッチの頂点を向上させるための補題4（未マッチ頂点のアップグレード）を用い、すでにマッチ済みの頂点に悪影響を及げずにマッチング結果を改善できることを証明する。
• 頂点分割A₁, A₂およびB₁, B₂におけるマッチング成分（M₂₁, M₁₂, M₂₂）を分析し、競合比の上限を導出する。
• 確率的および組合せ的境界を用いて、|M*|, |M_G|, および |B₁*| の関数として競合比の下限および上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オンライン二部マッチングにおける(1−ε)-競合比を達成する決定的アルゴリズムを得るために、最小でどの程度の助言ビットが必要か？
• RQ2 オンライン二部マッチングにおいて、助言ビットはランダム化を厳密に上回る競合比を提供できるか？
• RQ3 1/2-競合比を超えるために、Ω(log log log n)の助言ビットを必要とする自然な決定的助言アルゴリズムクラスは存在するか？
• RQ4 ランダム化アルゴリズムが最適な1−1/eの競合比に近づくために、どの程度のランダムビットが必要か？
• RQ5 決定的オンラインアルゴリズムが1/2を上回る競合比を達成するために必要な助言複雑度は何か？

主な発見

• オンライン二部マッチングにおいて、(1−ε)-競合比を達成する決定的アルゴリズムを得るには、Ω(log(1/ε)n)の助言ビットが必要であり、O(1/ε⁵n)の助言ビットで十分である。
• m個の助言ビットを用いたカテゴリベースの助言アルゴリズムは、3/5-競合比を達成し、決定的貪欲アルゴリズムの1/2-競合比を上回る。
• 自然な決定的助言アルゴリズムクラスにおいて、1/2-競合比を超えるためにΩ(log log log n)の助言ビットが必要であり、これは非自明な下限を確立する。
• ランダムビットをcn個（例：c=10）用いたランダム化アルゴリズムは、1−1/eに0.0002以内の差で近づき、最適性に非常に速く近づく。
• Karp-Vazirani-Vazirani（KVV）アルゴリズムは、1−1/eの競合比を達成するランダム化アルゴリズムの中で最適であり、Θ(n log n)のランダムビットを必要とする。
• 助言はランダム化を厳密に上回る：O(log n)の助言ビットで3/5-競合比が達成可能である一方、ランダム化で1−1/eに到達するにはΘ(n log n)のビットが必要である。