[論文レビュー] On the Power of Entangled Quantum Provers

Julia Kempe, Thomas Vidick|ArXiv.org|Dec 8, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、P = NP でない限り、2プローバー量子インタラクティブ証明系におけるエンタングルドプローバーの成功確率を多項式サイズの半定形計画法（SDP）で計算することはできないことを示している。本研究は、1ラウンドの量子インタラクティブ証明系を構築することで、エンタングルド量子プローバーの能力に非自明な下界を確立した。この証明系は、ギャップ-3Dマッチング問題を対象とし、完全な完全性と1に指数的に近い妥当性を達成しており、使用するワークスペースとメッセージサイズは対数的である。

ABSTRACT

We show that the value of a general two-prover quantum game cannot be computed by a semi-definite program ofvpolynomial size (unless P=NP), a method that has been successful in more restricted quantum games. More precisely, we show that proof of membership in the NP-complete problem GAP-3D-Matching can be obtained by a 2-prover, 1-round quantum interactive proof system where the provers share entanglement, with perfect completeness and soundness s=1-2^(-O(n)), and such that the space of the verifier and the size of the messages are O(log n). This implies that QMIP^*_{log n,1,1-2^(-O(n))} subseteq P unless P = NP and provides the first non-trivial lower bound on the power of entangled quantum provers, albeit with an exponentially small gap. The gap achievable by our proof system might in fact be larger, provided a certain conjecture on almost commuting versus nearly commuting projector matrices is true.

研究の動機と目的

• エンタングルド量子プローバーの計算能力がインタラクティブ証明系において果たす役割を調査すること。
• このような証明系の成功確率が半定形計画法（SDP）によって表現可能かどうかを特定すること。
• QMIP*（エンタングルメントを伴う量子多プローバーインタラクティブ証明）の表現能力に対する下界を確立すること。
• SDPに基づく手法が量子多プローバー証明系を特徴付ける際の限界を調査すること。
• 量子計算複雑性理論におけるほぼ可換だが可換でない射影行列の役割を検討すること。

提案手法

• エンタングルドプローバーを用いて、NP完全問題であるギャップ-3Dマッチング問題の1ラウンド量子インタラクティブ証明系を構築する。
• O(log n) のワークスペースと O(log n) のメッセージサイズを持つ検証者を用い、完全な完全性と妥当性 1 - 2^(-O(n)) を達成する。
• m 個の位置に重み √m のテンソル積射影行列を配置し、任意の2つが高々1つの位置でのみ交差するように配置する。
• 射影行列の交換子ノルムを分析し、近似対角化における誤差を制限し、これとほぼ可換な行列の構造を関連付ける。
• ツィレルソンの埋め込み技術とベクトルから観測量への写像を適用し、量子測定の成功確率をSDPの可解性に関連付ける。
• ほぼ可換な射影行列に関する予想を活用し、妥当性ギャップを指数的減衰を越えて著しく改善できる可能性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エンタングルド量子多プローバー証明系の成功確率は、多項式サイズの半定形計画法によって計算可能か？
• RQ2 量子インタラクティブ証明において、非自明な完全性と妥当性を達成するために必要な最小のエンタングルメントと通信量は何か？
• RQ3 可換でないがほぼ可換な射影行列の存在は、量子証明系におけるSDP緩和の根本的限界を示唆するか？
• RQ4 エンタングルドプローバーを備えた量子インタラクティブ証明系は、NP あるいはすなわち NEXP を捉えることができるか。その条件は何か？
• RQ5 プローバーがエンタングルメントを共有する場合、古典的通信と量子通信を伴う量子証明系に構造的差異はあるか？

主な発見

• 一般の2プローバー量子ゲームの成功確率は、P = NP でない限り、多項式サイズの半定形計画法（SDP）では計算できない。
• エンタングルドプローバーを用いた1ラウンド量子インタラクティブ証明系は、ギャップ-3Dマッチング問題に対して完全な完全性と妥当性 1 - 2^(-O(n)) を達成しており、使用するワークスペースとメッセージサイズは O(log n) に制限されている。
• これは、QMIP*_{log n,1,1-2^{-O(n)}} が P に含まれない限り、P = NP でない限り成立せず、エンタングルド量子プローバーの能力に非自明な下界を確立する。
• この構成は、交差と交換子ノルムを制御したテンソル積射影行列に依存しており、ほぼ可換な行列の構造と関連している。
• 予想2（ほぼ可換な射影行列）が多項式的または定数の δ で成り立つならば、妥当性ギャップは指数的減衰を越えて著しく改善できる可能性がある。
• この結果はスケーリング可能であり、ギャップ-3DMの定数次数のNEXP完全版を仮定すれば、NEXP ⊆ QMIP*_{1,s}(2,1) が成り立ち、妥当性 s が n の二重指数関数的に減少することが示せる。