[論文レビュー] On the power of function values for the approximation problem in various settings

Erich Novak, Henryk Woźniakowski|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2010

Mathematical Approximation and Integration参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ヒルバート空間およびバナッハ空間における関数近似において、最悪ケース、確率的、平均ケースの設定の下で、関数値と任意の線形汎関数の相対的効率を定量化するためのパワー関数 ℓ を導入する。本稿では、p=2 のヒルバート空間における確率的設定および p=2 のバナッハ空間における平均ケース設定において、関数値が一般線形情報と同一の収束速度を達成すること（つまり ℓ = 1）を確立するとともに、未解明の状況におけるパワー関数に関する8つの未解決問題を特定する。

ABSTRACT

This is an expository paper on approximating functions from general Hilbert or Banach spaces in the worst case, average case and randomized settings with error measured in the $L_p$ sense. We define the power function as the ratio between the best rate of convergence of algorithms that use function values over the best rate of convergence of algorithms that use arbitrary linear functionals for a worst possible Hilbert or Banach space for which the problem of approximating functions is well defined. Obviously, the power function takes values at most one. If these values are one or close to one than the power of function values is the same or almost the same as the power of arbitrary linear functionals. We summarize and supply a few new estimates on the power function. We also indicate eight open problems related to the power function since this function has not yet been studied for many cases. We believe that the open problems will be of interest to a general audience of mathematicians.

研究の動機と目的

• 関数近似の異なる設定において、関数値と任意の線形汎関数の相対的パワーを定量化すること。
• 収束速度の比としてのパワー関数 ℓ を定義し、関数値と一般線形情報の使用における性能を分析すること。
• どの関数空間および設定において関数値が一般線形情報と同一の収束速度を達成するか（すなわち ℓ = 1 となるか）を特定すること。
• 未解明の設定におけるパワー関数の挙動に関する未解決問題を特定し、特に p ≠ 2 および最悪ケース設定において明確にすること。

提案手法

• パワー関数 ℓ^sett-x(r,p) は、すべてのヒルバート空間またはバナッハ空間 F における標準情報のレート r^std-avg(F,L_p) とすべての情報のレート r^all-avg(F,L_p) の比の下界として定義され、r でスケーリングされる。
• 解析では、最悪ケース、確率的、平均ケースの設定における n 番目の最小誤差が用いられ、誤差は L_p 範囲で測定される。
• 平均ケース設定では、ガウス測度と共分散作用素のスペクトル的性質に依存して最小誤差を計算する。
• 確率的設定では、ヒルバート空間において確率的複雑度とすべての情報の複雑度が等価であることを用いる。
• 最悪ケース設定では、サンプリング数と幅の比較を通じてパワー関数を評価する。
• 本稿では、補間的議論と近似理論における既知の結果を応用して、さまざまな設定における ℓ の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間における確率的設定で、パワー関数 ℓ^ran-H(r,2) が 1 に等しくなる条件は何か。これは、関数値が一般線形情報と同一の収束速度を達成することを示唆する。
• RQ2 ヒルバート空間における最悪ケース設定で ℓ^wor-H(r,p) = 1 となることは可能か。これは、関数値が一般線形汎関数と同等のパワーを持つことを示唆する。
• RQ3 ヒルバート空間およびバナッハ空間における確率的設定で、p ∈ [1,2) のとき、パワー関数 ℓ^ran-H/B(r,p) の挙動は何か。
• RQ4 ガウス測度を用いた平均ケース設定において、p ≠ 2 のとき ℓ^avg-H/B(r,p) = 1 が成り立つか。あるいは、これは p = 2 に限定されるのか。
• RQ5 すべての r ∈ (0,a*] に対して ℓ^ran-H/B(r,p) = 0 となるような上界 a*(p) は何か。これは、関数値が確率的設定でどの程度無効であるかを示す。

主な発見

• p=2 のヒルバート空間における確率的設定では、すべての r > 0 に対してパワー関数 ℓ^ran-H(r,2) = 1 であり、関数値が一般線形情報と同一の収束速度を達成することを意味する。
• p=2 およびゼロ平均ガウス測度を伴うバナッハ空間における平均ケース設定では、すべての r > 0 に対してパワー関数 ℓ^avg-H/B(r,2) = 1 であり、関数値が一般線形情報と同等のパワーを持つことを示す。
• パワー関数 ℓ^wor-H(r,p) は上界が 1 であり、最悪ケース設定で ℓ^wor-H(r,p) = 1 が成立するかは未解決の問題のままである。
• p ∈ [1,2) のヒルバート空間およびすべての p ∈ [1,∞] のバナッハ空間において、確率的設定におけるパワー関数は未解明であり、未解決問題として提示されている。
• p ≠ 2 の場合のパワー関数 ℓ^avg-H/B(r,p) の挙動は不明であり、p = 2 を超えて ℓ^avg-H/B(r,p) = 1 が成り立つかどうかは未解決の問題である。
• 本稿では、関数値が確率的設定でどの程度無効であるかを示す、すべての r ≤ a* に対して ℓ^ran-H/B(r,p) = 0 となるような上界 a*(p) の特定を含む8つの未解決問題を特定している。