[論文レビュー] On the Power of Likelihood Ratio Tests in Dimension-Restricted Submodels

Michael W. Trosset, Mingyue Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2016

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、三次項分布におけるハリー＝ワインバーグ均衡のような低次元の部分モデルに制限した場合、尤度比検定（LRT）がより検出力が高いかどうかを調査する。漸近的理論では制限付きLRTがより検出力が高いことが示されるが、有限標本における反例—特に多項分布の部分モデルにおいて—は、制限付きLRTが非制限付きLRTより検出力が低いことがあることを示しており、次元制限付き推論に関する長年の予想に疑問を呈する。

ABSTRACT

Likelihood ratio tests are widely used to test statistical hypotheses about parametric families of probability distributions. If interest is restricted to a subfamily of distributions, then it is natural to inquire if the restricted LRT is superior to the unrestricted LRT. Marden's general LRT conjecture posits that any restriction placed on the alternative hypothesis will increase power. The only published counterexample to this conjecture is rather technical and involves a restriction that maintains the dimension of the alternative. We formulate the dimension-restricted LRT conjecture, which posits that any restriction that replaces a parametric family with a subfamily of lower dimension will increase power. Under standard regularity conditions, we then demonstrate that the restricted LRT is asymptotically more powerful than the unrestricted LRT for local alternatives. Remarkably, however, even the dimension-restricted LRT conjecture fails in the case of finite samples. Our counterexamples involve subfamilies of multinomial distributions. In particular, our study of the Hardy-Weinberg subfamily of trinomial distributions provides a simple and elegant demonstration that restrictions may not increase power.

研究の動機と目的

• 制限付きの代替仮説が低次元の部分モデルに制限されると、尤度比検定の検出力が向上するかどうかを評価すること。
• 次元制限付きLRT予想の妥当性を検証すること。この予想は、次元の低減が常に検出力を向上させると主張する。
• 有限標本において制限付きLRTが非制限付きLRTを上回らない条件を同定すること。
• ハリー＝ワインバーグ均衡を用いた三次項分布における反例を提示し、制限付き推論に関する一般的な仮定に挑戦すること。

提案手法

• 次元制限付きLRT予想の形式化：代替仮説の次元を低減することで検出力が向上するという仮説の明確化。
• 標準的な正則性条件の下で漸近的理論を適用し、局所代替仮説において制限付きLRTが非制限付きLRTよりも漸近的に検出力が高いことを示すこと。
• ハリー＝ワインバーグの三次項分布部分モデルを用いて、明示的な有限標本反例を構築すること。
• ハリー＝ワインバーグ制約下での制限付きLRTの検出力関数を導出し、非制限付きLRTと数値的に比較すること。
• 数値計算を用いて、制限付きLRTの検出力が小さな代替仮説の区間で有意水準α未満に低下することを示し、バイアスの存在を示すこと。
• 次元がより高い、または余次元が1より大きい他の多項分布部分モデルに結果を拡張し、反例の一般性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代替仮説を低次元の部分モデルに制限することで、尤度比検定の検出力が常に向上するのか？
• RQ2 有限標本において、次元制限付きLRT予想がどのような条件下で失敗するのか？
• RQ3 部分モデルが良好である場合でも、制限付きLRTが特定の代替仮説において非制限付きLRTより検出力が低いことがあるのか？
• RQ4 小標本サイズにおけるハリー＝ワインバーグの三次項分布モデルにおいて、制限付きLRTの検出力は非制限付きLRTとどのように比較されるか？
• RQ5 制限付きLRTがバイアスを示す、すなわち名目サイズ未満の検出力を示す特定のパラメータ値は存在するか？

主な発見

• 標準的な正則性条件の下で、次元制限付きLRT予想は漸近的に成立し、局所代替仮説において制限付きLRTは非制限付きLRTよりも漸近的に検出力が高い。
• 有限標本では、ハリー＝ワインバーグ部分モデルにおける反例により、制限付きLRTが非制限付きLRTより検出力が低いことがあることが示された。
• n=10、α=0.05のハリー＝ワインバーグモデルにおいて、τ=0.3付近の小さな代替仮説の区間で制限付きLRTの検出力がα未満となり、バイアスが生じている。
• 非制限付きLRTと制限付きLRTの検出力差は一様ではない。例えばτ∈(0,0.3)の領域では制限付きLRTがより検出力が高く、τ∈(0.3,1)の領域では逆に低い。
• 反例は病理的ではない。ハリー＝ワインバーグ部分モデルは、良好な曲がった指数型分布族であり、1パラメータの正則な指数型分布族であるが、依然として予想を無効にしている。
• 次元または余次元が1より大きい他の多項分布部分モデルにも同様の反例が存在し、この現象がハリー＝ワインバーグ例に限定されるものではないことが示唆された。