[論文レビュー] On the prevalence of non-Gibbsian states in mathematical physics

Aernout C. D. van Enter|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2012

Theoretical and Computational Physics参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、数学的物理学における非ギブズ測度の広範な存在を調査し、 renormalization group 変換、確率的ダイナミクス、粗粒化手続きにおいて、このような測度が自然に生じることを示している。ギブズ測度は平衡統計力学の中心的役割を果たすが、本稿は、ギブズ性の鍵たる擬局所性（quasilocality）が頻繁に破れ、物理的に関連する系ですら非ギブズ的挙動を示すことを明らかにしている。

ABSTRACT

Gibbs measures are the main object of study in equilibrium statistical mechanics, and are used in many other contexts, including dynamical systems and ergodic theory, and spatial statistics. However, in a large number of natural instances one encounters measures that are not of Gibbsian form. We present here a number of examples of such non-Gibbsian measures, and discuss some of the underlying mathematical and physical issues to which they gave rise.

研究の動機と目的

• 粗粒化や有効記述を含む系において、非ギブズ測度の広範な発生を調査すること。
• 特に renormalization group 変換や確率的ダイナミクスにおいて、ギブズ性が失われる条件を明確にすること。
• 擬局所性の破れや有効ハミルトニアンの崩壊を含む、非ギブズ性の物理的・数学的意味を検討すること。
• 特に臨界現象や相転移において、結果として得られる測度が非ギブズ的である場合の renormalization group 方法の信頼性を評価すること。
• 量子系や連続スピンモデルへのギブズ的概念の拡張の限界を検討すること。ここでは、条件付き確率に直接の類似物がない。

提案手法

• 積位相における条件付き確率を用いて、DLR方程式と擬局所性条件をギブズ性の基準として分析する。
• 特に縮退（decimation）とブロックスピン変換を含む renormalization group 写像を、ギブズ測度に適用し、結果として得られる測度が擬局所性を頻繁に破ることを示す。
• Glauberダイナミクスなどの確率的ダイナミクスを、初期のギブズ測度の時間発展した周辺測度を調べることで分析し、有限時間で非ギブズ的であることを証明する。
• 経路空間解析を用いて、測度に完全なダイナミクスを組み込み、時間発展系における非ギブズ性の検出を可能にする。
• 連続スピンの離散化（例：XY モデル）を検討し、低温領域で非ギブズ的時計スピン測度が生じることを示す。
• 異常な大偏差や非ゼロエネルギー（finite-energy）条件の破れといった代替基準を用い、特定の状況での非ギブズ性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ギブズ測度から出発しても、 renormalization group 変換が非ギブズ測度を生じる条件は何か？
• RQ2 Glauberスピン反転過程などの確率的ダイナミクスは、有限時間でどのように非ギブズ的状態を生じさせるか？
• RQ3 非ギブズ測度は、物理的に意味のあるものまたは数学的に取り扱いやすいものと見なせる範囲はどの程度か？
• RQ4 非ギブズ性は、統計系における普遍性クラスや臨界挙動にどのような影響を与えるか？
• RQ5 擬局所性が破れた場合、粗粒化や離散化に基づく有効理論は、依然として正則なハミルトニアンで記述可能か？

主な発見

• 非ギブズ性は、特に1次相転移や縮退写像において、 renormalization group 変換において一般に生じる。
• 有限時間の確率的ダイナミクスの後でも、初期のギブズ測度が非ギブズ的になり、擬局所性条件が破れる。
• 連続スピン（例：XY モデル）の離散化は、非可 summable 相互作用のため、低温領域で非ギブズ的挙動を引き起こす。
• ランダムクラスターモデル、確率的ダイナミクスの不変測度、質量なしガウス分布の符号場といった測度は、頻繁に非ギブズ的である。
• 擬局所性の破れは、長距離で非可 summable な相互作用を示し、普遍性クラスの変化を示唆する可能性がある。
• 弱ギブズ的またはほぼギブズ的測度は、常に変分原理を満たすとは限らず、標準的ギブズ測度と比べて著しく性質が悪い可能性がある。