[論文レビュー] On the prime-to-$p$ part of the groups of connected components of Néron models

Bas Edixhoven|ArXiv.org|Oct 20, 1994

Advanced Topics in Algebra被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、局所体上のアーベル多様体のネロンモデルの連結成分群のp以外の部分に対するリンツィニの4段階フィルトレーションを精緻化する。連続する商の上限を改善し、それが鋭いことを証明することで、与えられたアーベル部分、トーリック部分、ユニポテンツ部分の次元を持つアーベル多様体から生じる可能性のある群の完全分類が得られる。

ABSTRACT

This article improves certain results of Dino Lorenzini concerning the groups of connected components of special fibres of Néron models of abelian varieties. Lorenzini has shown the existence of a four step filtration on the prime-to-$p$ part ($p$ is the residue characteristic), and proved certain bounds for the successive quotients. We improve these bounds and show that our bounds are sharp. As an application, we give a complete classification of the groups that can arise as the prime-to-$p$ part of the group of connected components of the Neron model of an abelian variety with given dimensions for the abelian, toric and unipotent part. Hard copies of this preprint are available.

研究の動機と目的

• リンツィニの4段階フィルトレーションにおける、ネロンモデルの連結成分群のp以外の部分の連続する商の上限を改善すること。
• 改善された上限が鋭いことを証明することで、成分群の構造的理解を強化すること。
• ネロンモデルの連結成分群のp以外の部分として生じうる群の完全分類を提供すること。
• ネロンモデルのアーベル部分、トーリック部分、ユニポテンツ部分の次元に基づいてこれらの群を分類すること。
• 局所体上でのネロンモデルの成分群構造に関する算術幾何学における先行結果を拡張・精緻化すること。

提案手法

• ネロンモデルの連結成分群のp以外の部分に対する4段階フィルトレーションを利用する。
• 代数幾何学および群コホホロジーの技術を用いて、フィルトレーション商の構造を分析する。
• 双対性およびネロンの基本変換理論を用いて、成分群と特異ファイバーの幾何学的性質を関連付ける。
• アーベル部分、トーリック部分、ユニポテンツ部分に分解された与えられたアーベル多様体の文脈で明示的計算を行う。
• 理論的限界を実現する例の構成により、上限の鋭さを確立する。
• ネロンモデルおよびその特異ファイバーに関する結果を応用して、群論的制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネロンモデルの連結成分群のp以外の部分に対する4段階フィルトレーションの連続する商に対する、最も鋭い上限は何か？
• RQ2 どの有限アーベル群が、アーベル多様体のネロンモデルの連結成分群のp以外の部分として生じうるか？
• RQ3 ネロンモデルのアーベル部分、トーリック部分、ユニポテンツ部分の次元は、その成分群の可能な構造をどのように制約するか？
• RQ4 リンツィニが確立した上限をさらに改善でき、かつそれが鋭いかどうか？
• RQ5 ネロンモデルの幾何的分解を用いて、成分群のp以外の部分の完全分類は何か？

主な発見

• この論文は、リンツィニの4段階フィルトレーションにおける、ネロンモデルの連結成分群のp以外の部分の連続する商の上限を改善している。
• 改善された上限が鋭い、つまりさらに絞められないことを証明している。
• ネロンモデルの連結成分群のp以外の部分として生じうるすべての有限アーベル群の完全分類が与えられている。
• この分類は、ネロンモデルのアーベル部分、トーリック部分、ユニポテンツ部分の次元によって完全に決定される。
• 結果として、ネロンモデルの幾何的分解に基づいて、p以外の成分群の部分の正確な構造的記述が得られる。
• 上限の鋭さは、理論的限界を実現するネロンモデルの明示的構成により示されている。