[論文レビュー] On the principal impossibility to prove P=NP

Natalia Malinina|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2012

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、グラフ同型と変換下でのサイクル数の振る舞いにおける構造的制限が根本的であるため、P ≠ NP は証明することが本質的に不可能であると主張している。準正規化隣接行列の分析と Δn 変換の導入により、特定のグラフが多項式時間で解ける形に正規化されないことが示され、NP完全性は普遍的に制御できない位相的不変量に起因しており、P = NP を証明するための根本的不可能性が確立される。

ABSTRACT

The material of the article is devoted to the most complicated and interesting problem -- a problem of P = NP?. This research was presented to mathematical community in Hyderabad during International Congress of Mathematicians. But there it was published in a very brief form, so this article is an attempt to give those, who are interested in the problem, my reasoning on the theme. It is not a proof in full, because it is very difficult to prove something, which is not provable, but it seems that these reasoning will help us to understand the problem of the combinatorial explosion more deeply and to realize in full all the problems to which we are going because of the combinatorial explosion. Maybe we will realize that the combinatorial explosion is somehow a law, such a law, which influences the World, as Newton's law of gravitation influences the fall of each thing.

研究の動機と目的

• P = NP の証明を妨げる基礎的障壁を、グラフ理論を用いて調査すること。
• グラフ同型と隣接行列変換の構造的制限を分析すること。
• Δn 変換におけるサイクル数の振る舞いが、P = NP を証明する上で克服できない障壁を生じることを示すこと。
• チャーチ＝チューリングの thesis とアルゴリズム的正規化が、グラフの複雑性に起因する本質的複雑性のため、NP 完全性を解消できないこと。
• P ≠ NP は単に未解決であるのではなく、グラフ変換における位相的不変量に起因して、根本的になおかつ証明不可能であることを確立すること。

提案手法

• 二重の頂点および辺グラフ条件を満たす準正規化隣接行列の概念を導入する。
• Δn 変換を適用し、二項関係を変更せずに推移性を保持するが、グラフ構造を変更する。
• サイクル数の振る舞いに基づき、3 種類のグラフに分類する：ホロノミック、ヘテロノモス、プログレッシブ・ヘテロノモス。
• 位相的不変量（要素数、二項関係系、サイクル数）を構造的同値の基準として用いる。
• サイクル数が変換の正規不変量となるのは、輪郭および特定の構造的区間を有さないホロノミック・グラフに限ることを証明する。
• 定理 [2] および [3] をもとにしたアルゴリズムを構築し、これらが多項式的であることを示したが、依然として NP 完全性を解消できないこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ同型の構造的制約を考慮すると、NP 完全問題に対して一般の多項式時間アルゴリズムが存在可能か？
• RQ2 隣接行列が同時に頂点グラフおよび辺グラフを表すことができる条件は何か？
• RQ3 アルゴリズム的正規化が行われても、なぜ P = NP の証明試みが一貫して失敗するのか？
• RQ4 サイクル数は Δn 変換下でどのように振る舞い、これにより NP 完全性にどのような含意があるか？
• RQ5 NP 完全問題を P に還元するのを妨げる本質的な位相的または代数的障壁は存在するか？

主な発見

• サイクル数が変換の正規不変量となるのは、輪郭および特定の構造的区間を有さないホロノミック・グラフに限る。
• プログレッシブ・ヘテロノモス・グラフは、無限の変換ステップを経ても正規サイクル数に到達せず、正規化に対して抵抗性を示す。
• サイクル数の振る舞いが根本的に異なる重複しないグラフクラスの存在は、普遍的な多項式時間還元が不可能であることを示唆する。
• 準正規化隣接行列定理は、行列が頂点および辺の隣接行列として同時に双対化可能であるための必要十分条件を提供する。
• 定理 [2] および [3] をもとに多項式時間アルゴリズムを構築したが、著者は構造的不変量がアルゴリズム的制御に耐えず、P ≠ NP であると結論づける。
• 本稿は、P = NP は単に未解決であるのではなく、グラフ変換における本質的位相的制約に起因して、根本的になおかつ証明不可能であると結論づける。