[論文レビュー] On the principal series representations of semisimple groups with Frobenius maps

Xiaoyu Chen|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有限体上の単純代数群のフロベニウス写像を伴う主系列表現を調査する。誘導加群からシュタインバーグ加群と単純加群のテンソル積への全射準同型を確立し、元の誘導加群が最高重量が正則かつ反ドミナントである場合に限り、非可約であることを証明する。

ABSTRACT

Let ${\bf G}$ be a simply connected semisimple algebraic group over $\Bbbk=\bar{\mathbb{F}}_q$, the algebraically closure of $\mathbb{F}_q$ (the finite field with $q=p^e$ elements), and $F$ be the standard Frobenius map. Let ${\bf B}$ be an $F$-stable Borel subgroup and ${\bf T}$ an $F$-stable maximal torus contained in ${\bf B}$. Set $G_{q^r}={\bf G}^{F^r}$ and $B_{q^r}={\bf B}^{F^r}$ for any $r>0$. This paper studies the original induced module $\op{Ind}_{\bf B}^{\bf G}λ=\Bbbk{\bf G}\otimes_{\Bbbk{\bf B}}λ$ (here $\Bbbk{\bf H}$ is the group algebra of the group ${\bf H}$, and $λ$ is a rational character of ${\bf T}$ regarded as a ${\bf B}$-module). We show that if $λ$ is regular and dominant, then there is a surjective ${\bf G}$-module homomorphism $\op{Ind}_{B_{q^r}}^{\bf G}λ ightarrow \op{St}\otimes L(λ)$ for any $r>0$, where $\op{St}$ is the infinite dimensional Steinberg module defined by Nanhua Xi. As a consequence, we show that $\op{Ind}_{\bf B}^{\bf G}λ$ is irreducible if $λ$ if and only if $λ$ is regular and antidominant. Moreover, for ${\bf G}=SL_2(\bar{\mathbb{F}}_q)$ and $0

研究の動機と目的

• 有限体上の代数群とフロベニウス自己準同型の文脈において、主系列表現の構造を理解すること。
• 誘導加群 $\operatorname{Ind}_{\mathbf{B}}^{\mathbf{G}}\lambda$ が非可約となる条件を特定すること。
• 有限型リー群の表現論における無限次元シュタインバーグ加群 $\operatorname{St}$ の役割を調査すること。
• 有限群上の誘導加群とシュタインバーグ加群を含むテンソル積との間の準同型を確立すること。

提案手法

• 代数的群 $\mathbf{G}$ に対して、代数閉包 $\overline{\mathbb{F}}_q$ 上の単連結単純代数群にフロベニウス写像 $F$ を用いる。
• 最大トーラス $\mathbf{T}$ の有理的特徴 $\lambda$ を用いて、誘導加群 $\operatorname{Ind}_{\mathbf{B}}^{\mathbf{G}}\lambda = \Bbbk\mathbf{G} \otimes_{\Bbbk\mathbf{B}} \lambda$ を研究する。
• リー型有限群 $G_{q^r} = \mathbf{G}^{F^r}$ 及びそのボレル部分群 $B_{q^r} = \mathbf{B}^{F^r}$ を分析する。
• 任意の $r > 0$ に対して、$\mathbf{G}$-加群の全射準同型 $\operatorname{Ind}_{B_{q^r}}^{\mathbf{G}}\lambda \twoheadrightarrow \operatorname{St} \otimes L(\lambda)$ を構成する。
• 有理的特徴と $F$-安定性の理論を用いて、誘導加群の構造とシュタインバーグ加群の関係を関連付ける。
• ナヌア・シの定義による無限次元シュタインバーグ加群 $\operatorname{St}$ を用いて、テンソル積構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 誘導加群 $\operatorname{Ind}_{\mathbf{B}}^{\mathbf{G}}\lambda$ が非可約となる条件は何か？
• RQ2 誘導加群 $\operatorname{Ind}_{B_{q^r}}^{\mathbf{G}}\lambda$ の構造は、シュタインバーグ加群 $\operatorname{St}$ と単純加群 $L(\lambda)$ とどのように関係するか？
• RQ3 フロベニウス写像は、$\mathbf{G}$ の有限体上での表現論をどのように制御するか？
• RQ4 重量 $\lambda$ の正則性とドミナント性は、誘導加群の非可約性にどのように影響するか？
• RQ5 有限群 $G_{q^r}$ 上の誘導加群とテンソル積 $\operatorname{St} \otimes L(\lambda)$ の正確な関係は何か？

主な発見

• 任意の $r > 0$ に対して、$\lambda$ が正則かつドミナントであるとき、$\mathbf{G}$-加群の全射準同型 $\operatorname{Ind}_{B_{q^r}}^{\mathbf{G}}\lambda \twoheadrightarrow \operatorname{St} \otimes L(\lambda)$ が存在する。
• 誘導加群 $\operatorname{Ind}_{\mathbf{B}}^{\mathbf{G}}\lambda$ は、$\lambda$ が正則かつ反ドミナントである場合に限り非可約である。
• この構成は、ナヌア・シが定義した無限次元シュタインバーグ加群 $\operatorname{St}$ に依存しており、テンソル積構造において中心的な役割を果たす。
• $\mathbf{G} = SL_2(\overline{\mathbb{F}}_q)$ の場合、$0 < \lambda < \rho$ の範囲で主系列の非可約性について完全な分類が得られる。
• $\operatorname{Ind}_{B_{q^r}}^{\mathbf{G}}\lambda$ から $\operatorname{St} \otimes L(\lambda)$ への準同型は、フロベニウスのねじれとボレルおよびトーラス部分群の $F$-安定性と整合性を持つ。
• 古典的なウェイル加群およびシュタインバーグ加群の理論を、フロベニウス写像を伴う主系列表現の文脈に一般化する。