[論文レビュー] On the principles of quantum mechanics

Eijiro Sakai|ArXiv.org|May 13, 2004

Quantum Mechanics and Applications被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、空間と時間の原理、ガリレオの相対性、ハミルトンの原理、波動の原理、確率の原理、粒子の破壊不能性の6つの基礎的原理を、古典力学に依存しない自己完結的な公理的量子力学の基礎として提案する。これらの原理から出発し、古典力学に依存せずにシュレーディンガー方程式と正準交換関係を導出することで、量子力学がその古典的極限とは独立した根本的な理論であることを確立する。

ABSTRACT

We propose six principles as the fundamental principles of quantum mechanics: principle of space and time, Galilean principle of relativity, Hamilton's principle, wave principle, probability principle, and principle of indestructibility and increatiblity of particles. We deductively develop the formalism of quantum mechanics on the basis of them: we determine the form of the Lagrangian that satisfies requirements of these principles, and obtain the Schroedinger equation from the Lagrangian. We also derive the canonical commutation relations. Then we adopt the following four guide lines. First, we do not premise the relations between dynamical variables in classical mechanics. Second, we define energy, momentum, and angular momentum as the constants of motion that are derived from homogeneity and isotropy in space and time on the basis of principle of space and time. Since energy and momentum are quantitatively defined in classical mechanics, we define them in quantum mechanics so that the corresponding conservation laws are satisfied in a coupling system of a quantum particle and a classical particle. Third, we define Planck's constant and the mass of a particle as proportionality constants between energy and frequency due to one of Einstein-de Broglie formulas and between momentum and velocity, respectively. We shall obtain the canonical commutation relations and the Schroedinger equation for a particle in an external field in the definitive form. We shall also prove that relations between dynamical variables in quantum mechanics have the same forms for those in classical mechanics.

研究の動機と目的

• 量子力学を古典力学に依存しない自己完結的な形式的体系として確立すること。
• 標準的量子力学における根本的欠陥、すなわちシュレーディンガー方程式が直感的・ヒューリスティックに導入されていることへの対処。
• 量子力学的運動をアドホックな公理ではなく、基本的原理から導出すること。
• 結合された量子古典系において、保存則を用いてエネルギー、運動量、角運動量を定義すること。
• 量子力学的物理量間の関係が、適切な極限において古典的形式と一致することを示すこと。

提案手法

• 空間時間対称性、相対性、確率を含む6つの提案原理を用いて、自由粒子のラグランジアンを導出する。
• 導出されたラグランジアンにハミルトンの原理を適用し、シュレーディンガー方程式を導出する。
• 空間と時間の一様性および等方性から、エネルギーと運動量を運動の定数（保存量）として定義する。
• アインシュタイン＝ド・ブロイ関係を用いて、プランク定数と質量を、エネルギーと周波数の間、運動量と速度の間の比例定数として定義する。
• ラグランジアンの構造と対称性原理から、正準交換関係を導出する。
• 量子力学的運動関係が、事前に仮定せずに、古典的形式と同一の形をとることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学は、古典力学に依存せずに自己完結的な理論として定式化可能か？
• RQ2 シュレーディンガー方程式は、ヒューリスティックな公理ではなく、基本的原理から導出可能か？
• RQ3 量子力学において正準交換関係を導出するために必要な最小限の原理は何か？
• RQ4 古典的式に依存せずに、量子力学におけるエネルギーと運動量をどのように定義できるか？
• RQ5 量子力学的物理量間の関係は、自然にそれらの古典的対応を再現するのか？

主な発見

• シュレーディンガー方程式は、空間時間対称性、相対性、確率などの6つの基本的原理を用いて導出され、すべての対称性および確率的制約を満たすラグランジアンを含む。
• 正準交換関係は、同じ基礎的原理から導出され、事前に仮定せずに得られる。
• エネルギーと運動量は、空間時間対称性に由来する保存量として定義され、量子古典系の結合において一貫性が保証される。
• ラグランジアンの形は、未定定数を除き一意に決定され、標準的なシュレーディンガー方程式の形に一致する。
• エネルギー運動量関係 E = p²/2m などの量子力学的物理量間の関係は、形式的体系から自然に導かれ、仮定せず古典的形式と一致する。
• 確率密度の保存則が、ベクトル確率流の発散として表現可能であることが示され、確率の保存が保証される。