[論文レビュー] On the probability distribution of the gcd and lcm of $r$-tuples of integers

José Fernández, Pablo Fernández|arXiv (Cornell University)|May 2, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、{1, 2, ..., n} から一様にランダムに選ばれた整数の r-組（r ≥ 3）の最大公約数（gcd）および最小公倍数（lcm）の漸近的確率分布およびモーメントを導出する。数論的技法とオイラー積の恒等式を用いて、古典的な gcd および lcm のペアに関する結果を高次元に拡張し、n → ∞ のときの分布、期待値、および高次モーメントの正確な漸近展開を確立する。

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of statistical properties of the greatest common divisor and the least common multiple of random samples of positive integers.

研究の動機と目的

• ランダムな整数のペアに関する gcd および lcm の古典的結果を、r ≥ 3 の r-組に拡張すること。
• r-組の gcd および lcm の確率質量関数およびモーメントの正確な漸近的表現を導出すること。
• n → ∞ のときの gcd および lcm の極限的挙動を分析し、特に収束速度と誤差項に注目すること。
• 期待値および高次モーメントの明示的公式を提示すること。r や q に依存する関係を含む。
• gcd および lcm の分布と von Mangoldt 関数や素数計数関数などの算術関数との関係を確立すること。

提案手法

• k ≤ n に対して gcd(X₁,…,Xᵣ) = k となる確率を計算するための包含除算法および乗法的数論の使用。
• オイラー積の恒等式およびディリクレ畳み込みを用いて、gcd および lcm のモーメント母関数を導出する。
• リーマンゼータ関数 ζ(s) 及びその性質を用いて、モーメント展開における漸近定数を表現する。
• 対数項を含む期待値を推定するための調和数近似 H_m ≈ ln m + γ の使用。
• 素数定理および π(x) の評価を用いて、dyadic 区間内の素数個数を推定し、誤差項を制御する。
• 指数関数および生存関数を含む積分表現を用いて、記録時間および待機時間の期待値を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 {1, 2, ..., n} からランダムに選ばれた r 個の整数の最大公約数が固定された整数 k に等しい確率の漸近的確率は何か？
• RQ2 n → ∞ のとき、r-組の gcd および lcm のモーメントはどのように振る舞い、正確な漸近定数は何か？
• RQ3 lcm の極限分布は何か？収束性および誤差項の観点から、gcd の場合とどのように異なるか？
• RQ4 最初の r-組で gcd = 1 となるまでの期待待ち時間は漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ5 r-組の lcm の期待値の正確な漸近的挙動は何か？n および r に対してどのようにスケーリングされるか？

主な発見

• 1 ≤ k ≤ n に対して、gcd(X₁⁽ⁿ⁾, ..., Xᵣ⁽ⁿ⁾) = k である確率は、漸近的に 1/(kʳ ζ(r)) + O(1/(n kʳ⁻¹)) に収束する。
• q < r−1 のとき、gcd の q 階モーメントは n → ∞ のとき ζ(r−q)/ζ(r) に収束し、有限の極限を持つ。
• q = r−1 のとき、gcd の (r−1) 階モーメントは (ln n)/ζ(r) + O(1) と対数的に増加する。
• q ≥ r のとき、gcd の q 階モーメントは Dᵣ,ₚ n^{q−r+1} + O(n^{q−r} ln n) とスケーリングされ、Dᵣ,ₚ はゼータ関数の組み合わせで与えられる。
• r-組の lcm の期待値は、E[lcm] ~ (ζ(q+2)/(ζ(2)(q+1)²)) n^{2q}（q ≥ 1）を満たし、誤差項は O(n^{2q−1} ln n）である。
• 最初の r-組で gcd = 1 となるまでの期待待ち時間は、漸近的に n ln n − n ln ln n + n(γ − ln 2) + O(n / ln n) に収束する。