[論文レビュー] On the probability of being synchronizable

Mikhail V. Berlinkov|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2013

semigroups and automata theory参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、n状態を持つランダムな2文字有限オートマトンが同期可能である確率の正確な漸近的収束速度を確立し、それが $1 - \Theta(\frac{1}{n})$ であることを証明している。ランダム写像と強連結成分の確率的解析を用いて、同期可能性はランダムオートマトンにおいて極めて高い確率で成立することが示され、Cameronの予想が裏付けられ、2色の場合のタイトな境界が得られた。

ABSTRACT

We prove that a random automaton with $n$ states and any fixed non-singleton alphabet is synchronizing with high probability (modulo an unpublished result about unique highest trees of random graphs). Moreover, we also prove that the convergence rate is exactly $1-Θ(\frac{1}{n})$ as conjectured by [Cameron, 2011] for the most interesting binary alphabet case. Finally, we present a deterministic algorithm which decides whether a given random automaton is synchronizing in linear in $n$ expected time and prove that it is optimal.

研究の動機と目的

• n状態を持つ一様にランダムな2文字有限オートマトンが同期可能である確率の正確な漸近的確率を特定すること。
• 特に2文字の場合に、同期可能性の確率の収束速度のタイトネスを解明すること。
• k-文字オートマトンへの分析の拡張と、弱連結制約下での挙動の調査。
• $O(1/n)$ の失敗確率を持つ線形時間アルゴリズムを提示し、実験的に検証すること。
• 同期の一般化、例えば最小語のランク $d > 1$ のようなものについて、それらの確率的尤もらしさを調査すること。

提案手法

• n状態上でランダム写像としてランダムな2文字オートマトンをモデル化し、遷移を一様かつ独立に選択する。
• 弱連結性と終端の強連結成分（部分オートマトン）の確率を分析し、部分オートマトンのサイズが高確率で $n/4$ 以上であることを示す。
• 二項分布および指数的尾部推定を用いて、小さな部分オートマトンを持つオートマトンの数に関する確率的境界を適用する。
• クラスタ解析と安定ペア検出に基づく線形時間アルゴリズムを構築し、失敗確率を $O(1/n)$ に抑える。
• k > 2 の場合のオートマトンに対しても、文字のペアを逐次テストすることでアルゴリズムを拡張し、低確率でのみ2次関数的アルゴリズムにフォールバックする。
• n \in \{1000, \dots, 10000\} の範囲で1000個のランダムな2進オートマトンに対する実験により理論的結果を検証し、低失敗率を観測した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな2文字オートマトンが同期可能である確率の正確な漸近的収束速度は何か？
• RQ2 2文字の場合に収束速度が $1 - \Theta(\frac{1}{n})$ であることはタイトか？ これは Cameron の予想を確認するものか？
• RQ3 k-文字オートマトンにおける同期可能性の確率はどのようにスケーリングするか？ そして、$1 - O(\frac{1}{n^{0.5k}})$ のレートはタイトか？
• RQ4 一様にランダムな弱連結オートマトンが同期可能である確率は何か？ そして、指数関数的に減少するか？
• RQ5 ランダムオートマトンにおける語の最小ランクが $d > 1$ に等しい確率は何か？ そして、$d > 1$ の場合に指数関数的に1に近いか？

主な発見

• n状態を持つランダムな2文字オートマトンが同期可能である確率は $1 - \Theta(\frac{1}{n})$ であり、収束のオーダーが正確に特定された。
• 2文字の場合の収束速度はタイトであり、Cameronの予想（レートが $1 - O(\frac{1}{n})$ である）が裏付けられた。
• k > 2 のk-文字オートマトンでは、同期可能である確率が $1 - O(\frac{1}{n^{0.5k}})$ であり、この境界がタイトであることが示された。
• ランダムオートマトンが弱連結でない確率は $\Omega(\frac{1}{n})$ であるため、非同期可能性確率の下界が得られた。
• 各終端の強連結成分のサイズは、確率 $1 - O(\frac{1}{n})$ で少なくとも $n/4$ 以上であり、これは主結果を支持する。
• n \in \{1000, \dots, 10000\} の1000個のランダムな2進オートマトンに対する実験では、平均して1000個あたり5.09個の不良オートマトンが観測され、理論的 $O(\frac{1}{n})$ 失敗率（$\alpha(n) \leq 0.0055$）と整合的であった。k > 2 の場合、期待線形時間で動作する。