[論文レビュー] On the problem of hidden variables for quantum field theory

Andrei Khrennikov|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2006

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、量子場理論（QFT）を位相空間上の場関数の統計力学の漸近的近似として導く、前量子古典的統計場関数理論（PCSFFT）を提案する。真空揺動分散を表す小さなパラメータ α を導入することで、PCSFFT は α → 0 の極限において QFT の平均値を再現し、ハミルトニアン力学から QFT のシュレーディンガー方程式を導出し、将来の高精度実験で QFT の統計的予測が破綻する可能性があると予測する。

ABSTRACT

We show that QFT (as well as QM) is not a complete physical theory. We constructed a classical statistical model inducing quantum field averages. The phase space consists of square integrable functions, $f(ϕ),$ of the classical bosonic field, $ϕ(x).$ We call our model prequantum classical statistical field-functional theory -- PCSFFT. The correspondence between classical averages given by PCSFFT and quantum field averages given by QFT is asymptotic. The QFT-average gives the main term in the expansion of the PCSFFT-average with respect to the small parameter $α$ -- dispersion of fluctuations of "vacuum field functionals.'' The Scrödinger equation of QFT is obtained as the Hamilton equation for functionals, $F(f),$ of classical field functions, $f(ϕ).$ The main experimental prediction of PCSFFT is that QFT gives only approximative statistical predictions that might be violated in future experiments.

研究の動機と目的

• 量子場理論（QFT）の完全性に疑問を呈するため、その予測を漸近的に再現する古典的統計モデルを提案すること。
• 従来量子力学に適用されてきた前量子古典的統計場理論（PCSFT）の枠組みを、量子場理論へと拡張すること。
• 真空場関数の揺動を表す小さなパラメータ α を特定し、QFT が古典的統計平均の α → 0 の極限として現れるようにすること。
• 古典的位相空間上の場関数のハミルトニアン力学から、QFT のシュレーディンガー方程式を導出すること。
• QFT の統計的予測が正確ではなく、α が無視できない場合に実験的に反証可能である可能性を予測すること。

提案手法

• φ(x) が古典的ボソン場である平方可積分関数 f(φ) の位相空間上に古典的統計モデル（PCSFFT）を構築する。
• 平均 0、共分散作用素 D を持つガウス測度 ρ を定義し、揺動振幅を制御する小さなパラメータ α でスケーリングする。
• ガウス的関数積分の漸近展開を用いて、QFT 平均値が α の一次項として現れ、補正項が O(α²) であることを示す。
• 位相空間上の関数 F(f) のハミルトニアン力学を導出し、二次ハミルトニアンの場合に力学が QFT シュレーディンガー方程式に還元されることを示す。
• 複素場関数 f(φ) = q(φ) + ip(φ) を導入し、複素構造を用いて力学を標準形 i∂ₜf = 2δℋ/δf* で表現する。
• 古典的平均の漸近展開が、O(α²) の誤差まで QFT の予測と一致することを証明し、主要項は α/2 に比例し、関数の原点における二階微分に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子場理論は、古典的統計場理論の漸近的近似として理解できるか？
• RQ2 真空揺動分散を表す小さなパラメータ α が、古典的統計場関数と QFT 平均値を結ぶ役割を果たすか？
• RQ3 QFT のシュレーディンガー方程式は、古典的場関数のハミルトニアン力学から自然に導かれるか？
• RQ4 QFT の統計的予測は正確なものか、それとも実験的に反証可能な近似にすぎないか？
• RQ5 前量子古典的モデルは、量子形式主義の完全性を仮定せずに、QFT の力学的挙動と平均値を再現できるか？

主な発見

• PCSFFT は、α の漸近展開における一次項として QFT 平均値を再現し、補正項が O(α²) であるため、QFT がより深い古典的統計理論の近似であることを示している。
• QFT シュレーディンガー方程式は、古典的位相空間上の関数 F(f) のハミルトニアン方程式として導出され、QFT ハミルトニアン H = ℋ''(0) が古典的ハミルトニアンの二階微分から現れる。
• 二次ハミルトニアンの場合、場関数 f(φ) の古典的力学は、QFT シュレーディンガー方程式 i∂ₜf = Hf に正確に還元され、動的対応関係が確立される。
• このモデルは、QFT の統計的予測が正確ではなく、近似であると予測しており、α が無視できない場合に、将来的な高精度実験で逸脱を検出できる可能性を示唆する。
• 古典的位相空間は場関数 f(φ) ∈ L²(ℝ³) で構成され、ガウス測度 ρ は √α でスケーリングされ、有効的に揺動振幅を標準偏差 √α に正規化する。
• 古典的平均 <F>ρ の漸近展開が <F>ρ = (α/2)∫(F''(0)f,f)dρ_Dc(f) + O(α²) として示され、α → 0 の極限で QFT の期待値と一致する。