[論文レビュー] On the PROP corresponding to bialgebras

Teimuraz Pirashvili|ArXiv.org|Oct 1, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 69

ひとこと要約

この論文は、有限集合と結合的operad 構造の二重カテゴリにQuillenの$Q$-構成を適用することで、PROP $\mathcal{Q}\mathcal{F}(\mathsf{as})$ を構成し、その代数がちょうどbialgebra（結合的かつコクオーシャン・代数で、乗法と余乗法が整合的）であることを証明する。主な結果として、テンソル冪上の置換作用を通じた反復アダムズ作用素の自然変換則が確立される。

ABSTRACT

A PROP is a symmetric monoidal category, whose set of objects is the set of natural numbers and on objects the monoidal structure is given by the addition. An algebra over a PROP is a symmetric strict monoidal functor to the tensor category of vector spaces. We give an explicite construction of the PROP whose category of algebras is equivalent to the category of bialgebras (= associative and coassociative bialgebras).

研究の動機と目的

• 生成子と関係による抽象的記述に補足する形で、bialgebraに対応するPROPの明示的かつ具体的な構成を提供すること。
• 特に結合的operad $\mathsf{as}$ に対して、二重カテゴリからoperad 構造への$Q$-構成の一般化すること。
• 構成されたPROP $\mathcal{Q}\mathcal{F}(\mathsf{as})$ の代数が、体$k$上のちょうどbialgebraであることを示すこと。
• 置換対称性とテンソル演算を用いて、bialgebra上の反復アダムズ作用素の合成の構造的公式を導出すること。

提案手法

• 有限集合と結合的operad データで豊かにされた射の二重カテゴリに、Quillenの$Q$-構成を適用する。
• 射が集合写像$f: \underline{n} \to \underline{m}$ とし、$\omega^f \in \prod_{i=1}^m \mathsf{as}(|f^{-1}(i)|)$ であるようなペア$(f, \omega^f)$ からなる、$\mathcal{F}(\mathsf{as})$ として定義される圏を定義する。
• 対象が集合、水平射が集合写像、垂直射が$\mathcal{F}(\mathsf{as})$ の射、二重射が適合するoperad データを持つ引き戻し図式であるような二重カテゴリ$\mathcal{F}(\mathsf{as})_2$ を構成する。
• $\mathcal{F}(\mathsf{as})_2$ に$Q$-構成を適用して、代数がbiallygebraであることが示されるPROP $\mathcal{Q}\mathcal{F}(\mathsf{as})$ を得る。
• bialgebra $H$ に対して、$\mu^n \circ \sigma_* \circ \Delta^n$ で定義される自然変換$\Psi^{(n,\sigma)}: H \to H$ を定義し、$H$ の$n$重テンソル冪における対称群$S_n$ の作用を符号化する。
• 二重カテゴリの$Q$-構成の構造と写像$\Phi: S_n \times S_m \to S_{nm}$ を用いて、合成則$\Psi^{(n,\sigma)} \circ \Psi^{(m,\tau)} = \Psi^{(nm, \Phi(\sigma, \tau))}$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子と関係による抽象的記述を超えて、bialgebraの代数をもつPROPの明示的かつ構成的記述は何か？
• RQ2 Quillenの$Q$-構成は、特に結合的operadに対して、operad から生じる二重カテゴリにどのように適応できるか？
• RQ3 bialgebra上の自然変換$\Psi^{(n,\sigma)}$ は、体系的に記述され、合成できるか？
• RQ4 反復アダムズ作用素の合成を支配する代数的法則は何か？

主な発見

• 有限集合と結合的operad データの二重カテゴリにQuillenの$Q$-構成を適用して得られるPROP $\mathcal{Q}\mathcal{F}(\mathsf{as})$ の代数は、体$k$上のちょうどbialgebraに同型である。
• bialgebra $H$ の$n$重テンソル冪における対称群$S_n$ の作用を符号化する自然変換$\Psi^{(n,\sigma)}: H \to H$ は、$\mu^n \circ \sigma_* \circ \Delta^n$ で定義される。
• このような変換の合成は、$\Phi: S_n \times S_m \to S_{nm}$ が論文で構成された標準的写像であるとき、$\Psi^{(n,\sigma)} \circ \Psi^{(m,\tau)} = \Psi^{(nm, \Phi(\sigma, \tau))}$ を満たす。
• ${\sigma}$ が恒等写像のとき、$\Psi^{(n,\text{id})}$ は$n$番目のアダムズ作用素に還元され、この合成則は既知のアダムズ作用素の合成法則を一般化する。
• $\mathcal{Q}\mathcal{F}(\mathsf{as})$-代数の圏は、自由$\mathsf{as}$-代数の圏と同値であることが確認され、この構成の正しさが裏付けられる。
• この構成は任意の集合operad $\mathcal{P}$ に一般化可能であり、$\mathcal{F}(\mathcal{P})_2$ に自然な$Q$-構成を施すと、その圏は$\mathsf{Free}(\mathcal{P})$ と同値である。