[論文レビュー] On the Properties of Convex Functions over Open Sets

Yoel Drori|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2018

Optimization and Variational Analysis参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、開凸集合上に定義された $L$-スムーズな凸関数を検討し、非制約最適化における古典的不等式 (2) が一般にこのような関数に対して成り立たないことを示している。本稿は、1-スムーズな凸関数でさえも開領域上では性質 (2) が成立しないことを示す反例を構築し、開集合に対してはより強い降下補題を導出し、制約付き最適化問題におけるタイトな境界の数値近似を可能にする実現可能な不等式系を提案する。

ABSTRACT

We consider the class of smooth convex functions defined over an open convex set. We show that this class is essentially different than the class of smooth convex functions defined over the entire linear space by exhibiting a function that belongs to the former class but cannot be extended to the entire linear space while keeping its properties. We proceed by deriving new properties of the class under consideration, including an inequality that is strictly stronger than the classical Descent Lemma.

研究の動機と目的

• 開凸集合上に定義された $L$-スムーズな凸関数と、全空間 $\mathbb{R}^d$ 上に定義されたものとの間の構造的差異を調査すること。
• 領域が $\mathbb{R}^d$ の場合に成立することが知られている古典的不等式 (2) が、開集合上に定義された関数に対しても成立するかどうかという未解決の問いに応えること。
• 開凸領域の仮定の下で、降下補題のより強いバージョンを導出すること。
• 制約付き最適化問題におけるタイトな境界の数値近似を可能にする、開区間上に定義された $L$-スムーズな凸関数によって実現可能な不等式系を構築すること。

提案手法

• 四つの二次関数成分 $F_1, F_2, F_3, F_4$ を用いて、開半平面に定義された区分的二次関数 $F$ を構築し、$C^1$ 連続性と凸性を満たすようにする。
• 構築された関数 $F$ が定義域上で 1-スムーズかつ凸であるが、特定の点 $x = (0,0)^T$ と $y = (2,0)^T$ に対して不等式 (2) を満たさないことを証明し、反例としての役割を果たす。
• 領域の開性と局所的スムーズネスの性質を活用して、古典的降下補題よりも厳密に強い不等式を導出する。
• 離散的な点と勾配値を用いて、区間上に定義された $L$-スムーズな凸関数の必要条件を捉える数値最適化問題 $U_N$ を定式化する。
• 凸補間とホワイトニーの拡張定理を用いて、$U_N$ の妥当な解から、$
  \mathbb{R}^d$ 上でグローバルに $L$-スムーズかつ凸な関数を構成し、実現可能性を保証する。
• $U_N$ からの数値的境界と既存の解析的境界を比較し、数値近似によってよりタイトな境界が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{R}^d$ 上に定義された $L$-スムーズな凸関数に対して成立する古典的不等式 (2) が、開凸集合上に定義された関数に対しても成立するか。
• RQ2 関数がグローバルに $C^1$ かつ滑らかであっても、開集合上で $L$-スムーズかつ凸である関数が不等式 (2) を満たさないことはあり得るか。
• RQ3 開凸集合上で定義された $L$-スムーズな凸関数に対して、古典的降下補題よりも厳密に強いバージョンの降下補題が存在するか。
• RQ4 区間上に定義された $L$-スムーズな凸関数によって実現可能な不等式系を構築できるか。そのような不等式系により、制約付き最適化問題におけるタイトな境界の数値近似が可能になるか。
• RQ5 提案された不等式系から得られる数値的境界は、既存の解析的境界と比較して、タイトさと近似精度の点で優れているか。

主な発見

• 本稿は、$\mathbb{R}^2$ に拡張できない $L$-スムーズかつ凸な関数 $F$ を、開半平面に定義して構築し、開集合と全空間の設定における根本的な違いを示した。
• 関数 $F$ は $x = (0,0)^T$ と $y = (2,0)^T$ に対して不等式 (2) を満たさないため、開集合上に定義された関数に対しては古典的不等式が一般に成立しないことを証明した。
• 開凸集合上に定義された $L$-スムーズな凸関数に対して有効な、古典的降下補題よりも厳密に強い不等式を導出した。
• 提案された不等式系 $U_N$ は、区間上に定義された $L$-スムーズかつ凸な関数によって実現可能であり、妥当な解が実際に関数に対応することを保証した。
• $U_N$ の最適値の数値近似により、既存の解析的境界よりもタイトな境界が得られることを、比較によって示した。
• ホワイトニーの拡張定理を用いた構成により、$U_N$ の任意の妥当な解が、$
  \mathbb{R}^d$ 上でグローバルに $L$-スムーズかつ凸な関数に拡張可能であることが保証され、不等式系の実現可能性が裏付けられた。