[論文レビュー] On the properties of tensor complementarity problems

Wen Zhen Yu, Chen Ling+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 15被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、一般の閉凸鋭錐上でのテンソル補完問題（TCP）を調査し、古典的な非線形補完理論を拡張する。従来の知られていたものよりも弱いコポジティブ性条件のもとで解の存在を確立し、解集合の位相的性質を導出し、解の安定性を証明する。これらは、非負錐や構造的テンソルに関する先行研究をはるかに超えるTCP理論の進展をもたらす。

ABSTRACT

Properties of solutions of the tensor complementarity problem (TCP) for structured tensors have been investigated in recent literature. In this paper, we make further contributions on this problem. Specifically, we first derive solution existence theorems for TCPs on general cones from the results studied in the nonlinear complementarity problem literature. An interesting byproduct is that conditions (e.g., strict copositivity) of solution existence results for TCPs on the nonnegative cone can be reduced to copositivity, which, to the best of our knowledge, is the weakest requirement in the current TCP literature. Moreover, we study the topological properties of the solution set and stability of the TCP at a given solution, which are not discussed before and further enrich the theory of TCPs.

研究の動機と目的

• 非負錐から一般の閉凸鋭錐へのテンソル補完問題（TCP）の拡張を図ること。
• TCPにおける解の存在条件を弱める。特に、従来の厳密コポジティブ性から、現在のTCP文献で知られている最も弱い条件であるコポジティブ性へと緩和すること。
• 一般TCPにおける解集合の位相的性質（例：閉性、連結性）を調査すること。これは、従来のTCP文献では未解決のテーマであった。
• 与えられた解点における解の安定性を分析し、解のロバストネスに関する新たな理論的知見を提供すること。

提案手法

• 非線形補完問題（NCP）理論の結果、特にGowdaとPang（1992）の結果を一般錐上へのTCPの存在定理の導出に適応する。
• 解の存在の核心的条件としてコポジティブ性および厳密コポジティブ性を用い、一般錐設定のもとでコポジティブ性が十分であることを示す。
• 接錐および法錐の概念を用いて、解集合の位相的構造を研究するための変分解析の道具を適用する。
• 摂動解析フレームワークを用いて解の安定性を検討し、正規化された列と漸近的挙動を用いて背理法による証明を導出する。
• Fréchet微分と写像 $\mathcal{A} \mathbf{x}^{m-1}$ の連続性を用いて、方向微分と安定性条件を分析する。
• 一般化された意味での陰関数定理フレームワークを用い、$\mathcal{A}$ および $\mathbf{q}$ の小さな摂動に対する解の挙動を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル補完問題は、非負錐から一般の閉凸鋭錐へ意味的に拡張可能か？
• RQ2 一般錐設定において、TCPの解の存在条件を厳密コポジティブ性からコポジティブ性へ弱めることは可能か？
• RQ3 一般TCPにおける解集合の位相的性質（例：閉性、連結性）は何か？
• RQ4 テンソル $\mathcal{A}$ およびベクトル $\mathbf{q}$ の小さな摂動に対して、TCPの解はどのように振る舞うか。すなわち、解は安定か？

主な発見

• 一般錐上でのTCPの解の存在は、コポジティブ性の条件下で確立された。これは、先行研究で用いられていた厳密コポジティブ性よりも弱い条件である。
• 非負錐 $\mathbb{R}^n_+$ の特別な場合において、$\mathcal{A}$ のコポジティブ性が解の存在に十分であることを示した。これは、以前の結果を改善するものである。
• 与えられた条件下で、解集合 $\mathrm{SOL}(K, \mathbf{q}, \mathcal{A})$ が閉かつ有界であることが証明され、その位相的正則性が確立された。
• 本論文では、解の安定性が確立された。すなわち、$\mathcal{A}^{(l)} \to \bar{\mathcal{A}}$ および $\mathbf{q}^{(l)} \to \bar{\mathbf{q}}$ ならば、$\|\mathbf{x}^{(l)} - \bar{\mathbf{x}}\| = o(\|\mathbf{q}^{(l)} - \bar{\mathbf{q}}\| + \|\mathcal{A}^{(l)} - \bar{\mathcal{A}}\|_F)$ が成り立ち、強い安定性を示している。
• 不安定性を仮定したもとで背理が導かれ、解の系列が摂動よりも速く発散することはできないことが証明された。これにより、解のロバストネスが確認された。
• 本論文は、一般TCPフレームワークにおける解の安定性および位相的構造の分析を初めて提供し、現在の文献における重要な空白を埋めた。