[論文レビュー] On the pseudo-Hermitian invariant method for the time-dependent Non-Hermitian Hamiltonians

Boubakeur Khantoul, A. Bounames+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2016

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時間発展演算子において実数の位相を生成する時間に依存する非エルミートハミルトニアンに対して、擬似エルミート不変量の手法を導入する。時間に依存する擬似エルミート不変量 $I_{PH}(t)$ を動的計量に関して構築することにより、ハミルトニアン $H(t)$ が準エルミート的でも観測可能でもない場合でさえも、ユニタリな時間発展演算を保証する枠組みを提供する。この手法は、時間に依存する複素線形ポテンシャルを有する調和振動子を具体例として提示する。

ABSTRACT

We propose a scheme to deal with certain time-dependent non-Hermitian Hamiltonian operators $H(t)$ that generate a real phase in their time-evolution. This involves the use of invariant operators $I_{PH}(t)$ that are pseudo-Hermitian with respect to the time-dependent metric operator and which implies that the dynamics is governed by unitary time evolution. Furthermore, $H(t)$ is not generally quasi-Hermitian and does not define an observable of the system but $I_{PH}(t)$ obeys a quasi-hermiticity transformation as in the completely time-independent Hamiltonian systems case. The harmonic oscillator with a time-dependent frequency under the action of a complex time-dependent linear potential is considered as an illustrative example.

研究の動機と目的

• 時間に依存する非エルミートハミルトニアンが一般に準エルミート的または観測可能でない場合に、時間発展演算のユニタリティが保たれるかという課題に取り組む。
• ハミルトニアン $H(t)$ が非エルミート的であっても、時間に依存する擬似エルミート不変量 $I_{PH}(t)$ を導入することにより、動的変化する系においてもユニタリな力学を維持する枠組みを構築する。
• 時間に依存しない系における準エルミート変換構造を、時間に依存する系へ一般化し、主要な力学的性質を保存する。
• 特に複素時間に依存するポテンシャルを有する系に対して、時間に依存するパラメータを持つ非エルミート系を体系的に分析するための手法を提供する。

提案手法

• 本手法は、不変演算子 $I_{PH}(t)$ に対して擬似エルミート性を定義する時間に依存する計量演算子を導入する。
• 不変量 $I_{PH}(t)$ は、時間に依存する計量に関して擬似エルミート的であるように構築され、これによりユニタリな時間発展演算が保証される。
• この枠組みは、$H(t)$ 自身が準エルミート的でないにもかかわらず、$I_{PH}(t)$ に対して準エルミート性条件を満たすように構築され、時間に依存しない場合と類似した形式をとる。
• 時間発展演算は、擬似エルミート不変量から導かれるユニタリ演算子によって支配され、実数のエネルギー固有値と一貫性のある力学を保証する。
• 本手法は、$H(t)$ が観測可能でなく、かつ準エルミート的でもない場合でも、時間発展演算において実数の位相を生成する系に適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する非エルミートハミルトニアンが時間発展演算において実数の位相を生成する場合、ユニタリな力学的枠組みで記述可能か？
• RQ2 ハミルトニアンが準エルミート的でない場合に、時間に依存する非エルミート系に対してどのように擬似エルミート不変量を構築できるか？
• RQ3 時間発展演算の下で、不変量 $I_{PH}(t)$ は時間に依存しない系で見られる準エルミート性構造を保持するか？
• RQ4 時間に依存する計量演算子は、このような系におけるユニタリティを保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 時間に依存する不変量 $I_{PH}(t)$ は、時間に依存する計量に関して擬似エルミート的であり、$H(t)$ が準エルミート的でない場合でさえもユニタリな時間発展演算を保証する。
• $H(t)$ が観測可能でない場合でも、$I_{PH}(t)$ の擬似エルミート構造のおかげで、$H(t)$ が支配する力学はユニタリのままである。
• 不変量 $I_{PH}(t)$ は、時間に依存しない系と類似した準エルミート変換則を満たしており、既知の形式を一般化している。
• 本枠組みは、複素時間に依存する線形ポテンシャルを有する時間に依存する周波数の調和振動子を具体的な例として、うまく記述できている。