[論文レビュー] On the purity conjecture of Nisnevich for torsors under reductive group schemes

Roman Fedorov|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無限体を含む正則セミローカル整域上における再帰的群スキームの torsor について、等質性条件のもとで Nisnevich 純粋性予想を証明し、$ R_f $ 上の有理的に自明な torsor が自明であることを示している。等質性がない場合、アフィングラスマンニアンを用いて反例が構成され、特徴値が 0 の場合の可換群スキームの乗法的型に対する高次エタールコホモロジーの類似が確立されている。

ABSTRACT

Let $R$ be a regular semilocal integral domain containing an infinite field $k$. Let $f\in R$ be an element such that for all maximal ideals $\mathfrak m$ of $R$ we have $f otin\mathfrak m^2$. Let $\mathbf G$ be a reductive group scheme over $R$. Under an isotropy assumption on $\mathbf G$ we show that a $\mathbf G$-torsor over the localization $R_f$ is trivial, provided it is rationally trivial. We show that it is not true without the isotropy assumption. Finally, if $\mathbf G$ is a commutative group scheme of multiplicative type and the regular semilocal ring contains a field of characteristic zero, we prove an analogue of Nisnevich purity conjecture for higher étale cohomology groups. The first statement is derived from its abstract version concerning presheaves of pointed sets satisfying some properties. The counterexample is constructed by providing a torsor over a local family of affine lines that cannot be extended to the family of projective lines. The latter is accomplished using the technique of affine Grassmannians.

研究の動機と目的

• 正則セミローカル環で無限体を含む環上における再帰的群スキームの torsor について、Nisnevich 純粋性予想を確立すること。
• 群スキームに等質性仮定がない場合、予想が成立しないことを示すこと。
• 特徴値 0 における可換群スキームの乗法的型に対して、高次エタールコホモロジー群への純粋性現象の拡張をすること。
• 主結果を証明するための一般枠組みを、点付きプレシャーフの抽象的性質に基づいて提供すること。

提案手法

• 主結果は、特定の正確性および拡張性を満たす点付きプレシャーフに関する純粋性の抽象的基準から導かれる。
• 反例は、局所的なアフィン直線族上の ${\mathbf{G}}$-torsor がそれに対応する射影直線に拡張できないことを示すことによって構成される。
• この構成は、分岐半単純群 $ G $ に対して $ \mathbb{P}^1_k \hookrightarrow \mathrm{Gr}_G $ という閉埋め込みを用いる。
• アフィングラスマンニアン $ \mathrm{Gr}_G $ への $ \mathbb{A}^1_{B'} $ からの写像の拡張不能性が、torsor の拡張不能性を妨げる。
• 非自明なコキャラクターの軌道がフラッグ多様体 $ G/P_\lambda $ を通じて $ \mathbb{P}^1 $ を含むことを利用している。
• コホモロジー類似は、同じ枠組みを用い、乗法的群スキームに抽象的純粋性結果を適用することで確立されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ R $ を正則セミローカル整域、$ f \notin \mathfrak{m}^2 $ をすべての極大イデアル $ \mathfrak{m} $ に対して満たすものとするとき、$ R_f $ 上の有理的に自明な $ \mathbf{G} $-torsor が自明である条件は何か？
• RQ2 正則セミローカル環上における非等質的再帰的群スキームに対して、Nisnevich 純粋性予想が成立しないことはあるか？
• RQ3 $ \mathbf{G} $ が可換で乗法的型であり、$ R $ が特徴値 0 の体を含む正則セミローカル環であるとき、高次エタールコホモロジー群に対して Nisnevich 純粋性の類似は存在するか？
• RQ4 アフィングラスマンニアンは、等質性がない状況で非拡張可能な torsor の構成をどのように支援するか？

主な発見

• $ \mathbf{G} $ が $ R $ 上で等質的であり、$ R $ が無限体を含む正則セミローカル整域であり、すべての極大イデアル $ \mathfrak{m} $ に対して $ f \notin \mathfrak{m}^2 $ であるとき、$ R_f $ 上の $ \mathbf{G} $-torsor は有理的に自明であれば自明である。
• 等質性仮定がない場合、純粋性予想は成立しない：アフィングラスマンニアン $ \mathrm{Gr}_G $ への $ \mathbb{A}^1_{B'} $ からの非拡張可能な写像を用いて反例が構成される。
• 特徴値 0 の体を含む正則セミローカル環上における可換群スキーム $ \mathbf{G} $ の乗法的型に対して、高次エタールコホモロジー群の Nisnevich 純粋性の類似が成立する。
• 分岐で非自明な半単純群 $ G $ に対して、$ \mathrm{Gr}_G $ に閉部分スキームとして $ \mathbb{P}^1 $ が存在することは、反例構成にとって不可欠である。
• 特定の拡張性および正確性条件を満たす点付きプレシャーフの抽象的枠組みにより、純粋性結果を特定の幾何的状況を超えて一般化できる。
• $ \mathbb{A}^1_{B'} $ から $ \mathbb{P}^1_{B'} $ への torsor の拡張不能性の障害は、対応する $ \mathrm{Gr}_G $ への写像の拡張不能性に起因し、これはコキャラクター軌道の非自明性に起因する。