[論文レビュー] On the Pytkeev property in spaces of continuous functions (II)

Boaz Tsaban, Lyubomyr Zdomskyy|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2007

Advanced Topology and Set Theory被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、任意のポーランド空間 $X$ に対して、コンパクト開位相を備えた連続実数値関数の空間 $C(X)$ が、強いピトケーヴ性質を満たすことを確立する。主な結果として、ベア空間の被覆性質と $k$-被覆の性質を用いて $C_k(\mathbb{N}^\mathbb{N})$ がピトケーヴ性質を有することを示し、一般のポーランド空間への拡張は位相的および集合論的手段によってなされる。

ABSTRACT

We prove that for each Polish space X, the space C(X) of continuous real-valued functions on X satisfies a strong version of the Pytkeev property, if endowed with the compact-open topology. (This shows that whereas it need not be metrizable, it is "very close" to that.) We also consider the Pytkeev property in the case where C(X) is endowed with the topology of pointwise convergence.

研究の動機と目的

• ポーランド空間 $X$ における連続実数値関数の空間 $C_k(X)$ がコンパクト開位相を備える場合のピトケーヴ性質の調査。
• ピトケーヴ性質が $C_k(X)$ や $C_p(X)$ において、距離化可能性やフレシェ＝ウリソン性といったより強い位相的性質を含意するかどうかの特定。
• 関数空間におけるピトケーヴ性質と被覆性質 $\mathsf{U}_{fin}(\mathcal{O},\Omega)$ や $\mathsf{S}_1(\mathcal{O},\mathcal{O})$ の関係の探求。
• 関数空間における $C_p(X)$ における強いピトケーヴ性質の考察と、特に $X$ の距離化可能性および可算性との関係。

提案手法

• ピトケーヴ性質の $k$-被覆による特徴づけを用いる：任意の $A \subseteq C_k(X)$ で $\mathbf{0} \in \overline{A} \setminus A$ を満たすものに対して、無限個の部分集合 $A_n \subseteq A$ が存在し、$\mathbf{0}$ の任意の近傍がいくつかの $A_n$ を含むこと。
• パヴロヴィッチとパンセラの定理を適用し、問題を $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ が特定の被覆性質を満たすことを示すことに還元：任意の開 $k$-被覆 $\mathcal{U}$ に対して、無限個の $\mathcal{U}_n \subseteq \mathcal{U}$ が存在し、$\{\bigcap \mathcal{U}_n\}$ が $k$-被覆となること。
• 基本開集合 $[s]$ を用いて $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ の開集合の構造を分析し、$U(n) = \{s \in \mathbb{N}^n : [s] \subseteq U\}$ を定義して、開集合を有限レベルに分解。
• 帰納法と対角線的議論を用い、すべての $n$ に対して $\{U(n)\}$ が有限であると仮定すると、$K = \bigcap_n [F_n]$ というコンパクト集合を構成でき、これはある $U$ に被覆されなければならないが、矛盾が生じることを示す。
• $\mathfrak{D}_{\mathrm{fin}}$-被覆の概念と基数 $\operatorname{cov}(\mathfrak{D}_{\mathrm{fin}}) < \mathfrak{d}$ を用いて、$X$ の $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ への連続像がピトケーヴ性質のもとで有限に支配的であってはならないことを示す。
• 選択原理および選択理論からの結果（$\mathsf{U}_{fin}(\mathcal{O},\Omega)$ や強測度ゼロなど）を用いて、$X$ が $\mathsf{S}_1(\mathcal{O},\mathcal{O})$ を満たす必要があることを導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $X$ がポーランド空間であるとき、コンパクト開位相のもとで $C_k(X)$ がピトケーヴ性質を満たすか。
• RQ2 $C_p(X)$（点ごとの収束位相）におけるピトケーヴ性質がフレシェ＝ウリソン性を含意するか。
• RQ3 関数空間におけるピトケーヴ性質と $\mathsf{U}_{fin}(\mathcal{O},\Omega)$ や $\mathsf{S}_1(\mathcal{O},\mathcal{O})$ などの被覆性質との関係は何か。
• RQ4 $C_p(X)$ における強いピトケーヴ性質は、$X$ の距離化可能性や可算性を含意するか。
• RQ5 集合論的仮定（例：$\operatorname{cov}(\mathfrak{D}_{\mathrm{fin}}) < \mathfrak{d}$）のもとで、$C_p(X)$ におけるピトケーヴ性質が $X$ の強い位相的性質を含意する条件は何か。

主な発見

• 任意のポーランド空間 $X$ に対して、コンパクト開位相を備えた連続実数値関数の空間 $C_k(X)$ はピトケーヴ性質を満たす。
• $C_k(\mathbb{N}^\mathbb{N})$ はピトケーヴ性質を満たす。これは $k$-被覆とその無限部分族の $k$-被覆となる交わりを含む被覆論的特徴づけによって確立される。
• $\operatorname{cov}(\mathfrak{D}_{\mathrm{fin}}) < \mathfrak{d}$ ならば、$C_p(X)$ がピトケーヴ性質を満たすと、$X$ は $\mathsf{U}_{fin}(\mathcal{O},\Gamma)$ および $\mathsf{S}_1(\mathcal{O},\mathcal{O})$ を満たす。
• $X$ の連続像 $Y \subseteq \mathbb{N}^\mathbb{N}$ で、$C_p(Y)$ がピトケーヴ性質を満たす場合、$Y$ が有限に支配的でない限り、$Y$ は有界である。
• $C_p(X)$ における強いピトケーヴ性質はフレシェ＝ウリソン性を含意しない。実際、$C_p(X)$ が強いピトケーヴ性質を満たすならば、$X$ は可算でなければならない。
• $C_p(X)$ におけるピトケーヴ性質は、強いピトケーヴ性質を含意しない。これは、$C_p(X)$ がピトケーヴ性質を満たすが強いバージョンを満たさない非可算 $X$ の存在によって示される。