[論文レビュー] On the q-analog of homological algebra

Mikhail Kapranov|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 65

ひとこと要約

本稿では、N個の連続する微分作用素の合成が消えるN複体—d^N = 0—を導入し、単位根であるqに対するホモロジー代数のqアナログを構築する。q変形された微分作用素がd^N = 0を満たすことを確立し、q-Leibniz則を満たすq-de Rham複体を構成し、q接続に対するN曲率を定義。また、∇^NがN形式への行列による乗法作用として作用することを示す。主な貢献は、N=3におけるChern-Simons理論のqアナログの確立である。

ABSTRACT

This is an attempt to generalize some basic facts of homological algebra to the case of "complexes" in which the differential satisfies the condition $d^N=0$ instead of the usual $d^2=0$. Instead of familiar sign factors, the constructions related to such "N-complexes" involve powers of q where q is a primitive Nth root of 1. We show that the homology (in a natural sense) of an N-complex is an $(N-1)$-complex which is $(N-1)$-exact, and the role of the Euler characteristic is played by the trigonometric sum $\sum q^i \dim(C^i)$. By q-deforming the de Rham differential we develop a version of the theory of differential forms which is coordinate-dependent but covariant with respect to a natural Hopf algebra. In particular, there is a meaningful formalism of connections with the curvature being an N-form given by the N th power of the covariant derivative. For $N=3$ the expression for the curvature is very similar to the Chern-Simons functional. This text was written in 1991.

研究の動機と目的

• d²=0のホモロジー代数をd^N=0に一般化すること、特にqが単位根である場合に焦点を当てる。
• q可換変数とq-Leibniz則を用いたqアナログde Rham複体の構築。
• q^N=1のとき、∇^Nが曲率形式F_∇による乗法作用として作用するようなq接続∇に対する曲率F_∇を定義すること。
• N曲率のゲージ共変性を確立し、Bianchi恒等式とChern形式のアナログを検討すること。
• N=3の場合、曲率式が3次元ゲージ理論におけるChern-Simonsラグランジアンに類似しており、d²A項が積分で不変であることを示すこと。

提案手法

• N個の連続する準同型の合成が0であるような系列としてN複体を定義し、鎖複体を一般化する。
• 単体的集合上のq微分作用素d_q = ∑_{i=0}^n q^i ∂_iを導入し、q^N = 1のときd_q^N = 0であることを示す。
• qアナログ組合せ論を用いる：[n]_q = (1−q^n)/(1−q)，[n!]_q = ∑_{w∈S_n} q^{l(w)} であり、qが非自明なN次単位根のとき[N!]_q = 0であることを示す。
• q可換変数x_iとdx_iを用いたq変形de Rham複体を構成し、q-Leibniz則を満たす。
• ベクトル束上のq接続∇ = d + Aを定義し、Aは行列値1形式であり、∇はq-Leibniz則を満たす。
• qが原始的N次単位根のとき、∇^Nが行列N形式F_∇による乗法作用として作用することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d^N = 0（d² = 0でない）の場合に、ホモロジー代数の適切な一般化は何か？
• RQ2 qが単位根であるとき、微分形式とde Rham複体のqアナログはどのように振る舞うか？
• RQ3 q接続に対して、∇^N = 0 ならば ∇^N が曲率形式による乗法作用として作用するような曲率概念を定義できるか？
• RQ4 q接続に対してゲージ共変性を持つ曲率理論は存在するか？また、Bianchi恒等式を満たすか？
• RQ5 N=3の場合、N曲率は3次元ゲージ理論におけるChern-Simons汎関数に類似した式を与えるか？

主な発見

• qが原始的N次単位根のとき、単体的集合の鎖複体上のq微分作用素d_qはd_q^N = 0を満たし、N複体をなす。
• N複体のホモロジーは、p階ホモロジーH_p,i = Ker(d^p: C_i → C_{i−p}) / Im(d^{N−p}: C_{i+N−p} → C_i)として定義され、二重次数付き複体を形成する。
• qが原始的N次単位根のとき、q接続∇ = d + AのN曲率F_∇は行列値N形式であり、∇^N = F_∇を満たす。
• 曲率F_∇はゲージ共変性を満たす：F_{g^{-1}∇g} = g^{-1}F_∇gであり、∇(F_∇) = 0である。これはqアナログのBianchi恒等式の証明である。
• N=3、ε = exp(2πi/3)のとき、曲率F_A = d²A + dA·A + ε A·dA + A·A·Aであり、R³上での積分∫tr(F_A) = ∫tr(dA·A + ε A·dA + A·A·A)は、d²A項が積分に寄与しない。
• 各pについて、スカラー形式tr(F_∇^p)は閉形式である。これは、q変形された設定におけるチャーン類理論の可能性を示唆する。