[論文レビュー] On the Quantum Complexity of Closest Pair and Related Problems

Ambainis, Andris, Larka, Nikita|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 46被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、最近接ペア（CP）問題の量子時間計算量を解明し、定数次元における新しい歴史に依存しない量子データ構造を用いて、eO(n^{2/3})の量子アルゴリズムを提示する。これは、量子クエリ下界 Ω(n^{2/3}) を用いて最適性を確立し、Groverの二次的高速化が多項式対数次元におけるCPに対してほぼ最適であることを示すために、量子強指数時間仮説（QSETH）を導入する。

ABSTRACT

The closest pair problem is a fundamental problem of computational geometry: given a set of $n$ points in a $d$-dimensional space, find a pair with the smallest distance. A classical algorithm taught in introductory courses solves this problem in $O(n\log n)$ time in constant dimensions (i.e., when $d=O(1)$). This paper asks and answers the question of the problem's quantum time complexity. Specifically, we give an $ ilde{O}(n^{2/3})$ algorithm in constant dimensions, which is optimal up to a polylogarithmic factor by the lower bound on the quantum query complexity of element distinctness. The key to our algorithm is an efficient history-independent data structure that supports quantum interference. In $\mathrm{polylog}(n)$ dimensions, no known quantum algorithms perform better than brute force search, with a quadratic speedup provided by Grover's algorithm. To give evidence that the quadratic speedup is nearly optimal, we initiate the study of quantum fine-grained complexity and introduce the Quantum Strong Exponential Time Hypothesis (QSETH), which is based on the assumption that Grover's algorithm is optimal for CNF-SAT when the clause width is large. We show that the naïve Grover approach to closest pair in higher dimensions is optimal up to an $n^{o(1)}$ factor unless QSETH is false. We also study the bichromatic closest pair problem and the orthogonal vectors problem, with broadly similar results.

研究の動機と目的

• 定数次元および多項式対数次元における最近接ペア（CP）問題の量子時間計算量を特定すること。
• 特に古典的アルゴリズムが失敗する高次元において、幾何的問題の量子高速化のギャップを埋めること。
• 幾何的探索における効率的な量子干渉を可能にする、履歴に依存しない量子データ構造の開発。
• 量子強指数時間仮説（QSETH）を導入することで、高次元における量子条件付き下界を確立すること。

提案手法

• 離散化された超立方体、ハッシュテーブル、スキャンリスト、基数木を用いた、履歴に依存しない幾何的データ構造を設計し、高速な最近傍探索クエリをサポートする。
• 要素の同一性に関する量子ウォークアルゴリズムを用いて、定数次元におけるCPのO(n^{2/3})クエリ計算量を達成する。
• 距離の閾値に対して二分探索を適用し、量子最小値探索と最近傍オラクルを活用して最小距離ペアを特定する。
• SETHの量子版として、Groバのアルゴリズムが大規模な節を含むCNF-SAT問題に対して最適であると仮定するQSETHを導入する。
• 量子細粒度還元を用いて、多項式対数次元におけるCPに対するナイーブなGroverベースのアプローチが、o(1)指数の範囲で最適であることを示す。
• マルコフの不等式を用いて、構築時間に上限を設けた並列量子最小値探索を適用し、データ構造の構築における失敗確率を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数次元における最近接ペア問題の最適な量子時間計算量は何か？
• RQ2 高次元（多項式対数次元）において、Groverの二次的高速化を上回るサブ二次時間計算量を達成できる量子アルゴリズムはあるか？
• RQ3 多項式対数次元におけるCPを解く際、Groverのアルゴリズムは最適であるのか？これを証明するにはどのような仮定が必要か？
• RQ4 幾何的演算をサポートしつつ、量子干渉を維持できるように、量子データ構造をどのように設計できるか？
• RQ5 量子細粒度計算量理論を形式化することで、古典的条件付き下界を量子設定に拡張できるか？

主な発見

• 定数次元における最近接ペア問題に対して、eO(n^{2/3})の量子アルゴリズムが達成され、既知の量子クエリ下界 Ω(n^{2/3}) と多項式対数要因の範囲で一致する。
• 定数次元における二色最近接ペア問題および(1+ξ)-近似最近接ペア問題の量子クエリ計算量も Ω(n^{2/3}) であることが示され、最適性が証明される。
• 多項式対数次元においては、量子強指数時間仮説（QSETH）を仮定すると、CPに対するナイーブなGroverベースのアプローチがno(1)要因の範囲で最適であることが示される。
• 本稿では、高速な更新とチェックを可能にする、画期的な履歴に依存しない量子データ構造を導入し、幾何的探索における量子干渉を実現する。
• 定数次元における直交するベクトル問題の時間計算量はΘ(√n)であり、探索問題の量子クエリ下界と一致する。
• 量子最小値探索手順における失敗確率はO(n^{-(1/2 - 1/(2d)))}で抑えられ、d > 1のとき任意の定数より小さいため、高い信頼性が保証される。