[論文レビュー] On the quasi-linearity of the Einstein- "Gauss-Bonnet" gravity field equations

Nathalie Deruelle, J. Madore|ArXiv.org|May 2, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 36被引用数 47

ひとこと要約

本稿は、高次元におけるアインシュタイン＝ガウス＝ボンネット重力の場の方程式の準線形性を調査し、この性質が適切な初期値問題とブレーンを越える一貫性のある境界条件を保証することを示している。カルラツァ＝クラインおよびブレーン宇宙論的モデルの分析を通じて、ブレーン上の正しいエネルギー運動量テンソルがローヴェルック作用の整合的変分から得られることを確立し、長年の境界条件の定式化に関する曇りを解消した。

ABSTRACT

We review some properties of the Einstein-"Gauss-Bonnet" equations for gravity--also called the Einstein-Lanczos equations in five and six dimensions, and the Lovelock equations in higher dimensions. We illustrate, by means of simple Kaluza-Klein and brane cosmological models, some consequences of the quasi-linearity of these equations on the Cauchy problem (a point first studied by Yvonne Choquet-Bruhat), as well as on "junction conditions".

研究の動機と目的

• 高次元におけるアインシュタイン＝ガウス＝ボンネット重力の準線形性が初期値問題および波動伝播に与える影響を明確化すること。
• 5次元時空におけるローヴェルック作用から正しいブレーンエネルギー運動量テンソルを導出する際の長年の曇りを解消すること。
• ガウス＝ボンネット作用の変分における境界項を分析することで、ブレーンを越える正しい境界条件を確立すること。
• 外在的曲率と曲率不変量に基づく標準的な境界条件形式が、完全なローヴェルック変分原理と一貫していることを示すこと。
• ガウス＝ボンネットブレーン・ワールドモデルにおける有効な宇宙論的進化に関して、文献に見られる矛盾する結果を調和させること。

提案手法

• ローヴェルック作用から場の方程式を導出し、ヒルベルトのラグランジアンを高次元に一般化し、準線形かつ対称的で保存則を満たすテンソルを得る。
• 5次元ガウス＝ボンネット作用の変分を適用し、外在的曲率および曲率不変量を含む境界項を特定する。
• 変分からチェーン＝シモンズ形式 Q と境界テンソル Bμν を特定し、Bμν がブレーン上のエネルギー運動量テンソルと一致することを示す。
• 形式言語を用いて Q と Bμν を明示的に表現し、Bμν が完全な作用変分から得られる境界条件に対応することを確認する。
• 2つの競合する境界条件形式を比較する：1つは外在的曲率のトレースに基づくもの、もう1つは高次の曲率不変量を含むものであり、後者が正しいことを示す。
• 形式主義をカルラツァ＝クラインおよびブレーン・ワールド宇宙論的モデルに適用し、ガウス＝ボンネット結合定数に依存する有効エネルギー密度の依存性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタイン＝ガウス＝ボンネット方程式の準線形性は、高次元重力における適切な初期値問題を保証するか？
• RQ2 ガウス＝ボンネット重力を持つ5次元バルク空間において、ブレーンを越える正しい境界条件の形式は何か？
• RQ3 ローヴェルック作用の変分における境界項は、ブレーンエネルギー運動量テンソルの導出にどのように影響を与えるか？
• RQ4 文献において、ブレーン上の有効エネルギー密度について矛盾する表現が生じる理由は何か？そして、どちらが物理的に一貫しているか？
• RQ5 完全なローヴェルック作用変分から得られる境界条件は、標準的なブレーン・ワールド宇宙論的モデルと調和するか？

主な発見

• 完全なローヴェルック作用変分から得られる境界条件、特に式 (IV.31) で定義される Bμν が、ブレーンエネルギー運動量テンソルの正しい表現である。
• 形式 Bμν = Kμν − Kγμν + 4α(3/2 Jμν − 1/2 J γμν − P̄μρνσ Kρσ) は、ブレーン上の物理的エネルギー運動量テンソルと一致し、過去の曇りを解消した。
• 境界項 √−γ nC (V C(1) + α V C(2)) は、δ(√−γ Q) + √−γ Bμν δγμν + α √−γ ∇ρ Wρ として再表現可能であり、変分原理の一貫性を確認した。
• チェーン＝シモンズ形式 Q = 2K + 4α(J − 2σ̄μν Kμν) は、適切な変分問題を定義するための境界補正項として特定された。
• ブレーン上の有効エネルギー密度は ρ ≃ 6√h² + k/a² + 1/L² [1 − 4α/L² + 8α/3 (h² + k/a² + 1/L²)] で与えられ、単純な結合定数の再正則化形式とは顕著に異なる。
• 正しい境界条件は、単純な結合定数の再正則化アプローチとは異なった宇宙論的進化をもたらし、ブレーン・ワールド系における初期宇宙の力学に観測可能な影響を及ぼす。